Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

2.İntegrallerZor

y = x² ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = x²y = 2x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 2)) toplamını bulun.

a_k = 3/(k(k + 2))

S =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = cos x, x = 1 noktasında 3. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. Mümkün olan en büyük hatayı, |R₃|, bulmak için M = 1 ile Lagrange hata sınırını M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanın.

f(x) = cos xn = 3x = 1M = 1

|R₃| =

5.Çok değişkenli analizOrta

z = 5xy − 5x² − y² yüzeyine (x, y) = (3, 1) noktasındaki teğet düzlem z = px + qy + c olarak yazılabilir. c değerini bulun.

f(x, y) = 5xy − 5x² − y²(a, b) = (3, 1)

c =

6.Çok değişkenli analizZor

I = ∬_R e^{−(x² + y²)} dA integralini hesaplamak için kutupsal koordinatları kullanın; burada R: x² + y² ≤ 9 diskinin üst yarısı (y ≥ 0).

f = e^{−(x² + y²)}0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π

I =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 5y′ + 4y = 0 denklemini y(0) = 4 ve y′(0) = 2 ile çözün. y(1) değerini bulun.

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 4y′(0) = 2

y(1) =

8.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 4 koşuluyla y′ + y/x = 3 başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + y/x = 3y(1) = 4

y(2) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 3,75

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Cevap

I = 3,75

2.İntegraller

Cevap: A = 1,333

Kesişim noktaları

x² = 2x → x = 0, x = 2

Üst eksi alt integrali alın

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Cevap

A = 1,333

3.Diziler ve seriler

Cevap: S = 2,25

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Kısmi kesirler

3/(k(k + 2)) = (3/2)·(1/k − 1/(k + 2))

İptal

S = (3/2)·(1 + 1/2) = 2,25

Cevap

S = 2,25

4.Diziler ve seriler

Cevap: |R₃| = 0,04167

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Türev üzerindeki sınır

M = 1

Lagrange sınırı

|R₃| ≤ 1·1⁴/4! = 0,04167

Cevap

|R₃| = 0,04167

Gerçek hata daha küçüktür: |f(1) − P₃(1)| = 0,0403.

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: c = 31

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki değer ve eğimler

f(3, 1) = −31

f_x = 5y − 10x → f_x(3, 1) = −25

f_y = 5x − 2y → f_y(3, 1) = 13

Teğet düzlem

z = −31 − 25(x − 3) + 13(y − 1)

z = −25x + 13y + 31

Sabit terim

c = 31

Cevap

c = 31

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: I = 1,571

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Kutupsal biçim

I = ∫₀^π ∫₀³ e^−r²·r dr dθ

İntegral alın

∫ e^−r²·r dr = [−e^−r²/2]

I = 1,571

Cevap

I = 1,571

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1) = 2,171

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 4, −1A − 4B = 2

A = 6, B = −2

Hesaplayın

y(1) = 6·e⁻¹ + (−2)·e⁻⁴ = 2,171

Cevap

y(1) = 2,171

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 4,25

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

İntegral alın

(x¹y)′ = 3x → x¹y = 3x²/2 + C

Başlangıç koşulu

4 = 3/2 + C → C = 2,5

Hesaplayın

y(2) = (3·2²/2 + 2,5)/2¹ = 4,25

Cevap

y(2) = 4,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2