Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
I = ∫₁4 x·ln x dx değerini hesaplayın.
∫₁4 x ln x dx
I =
2.İntegrallerZor
y = 2x2 ve y = 4x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 2x2y = 4x
A =
3.Diziler ve serilerOrta
Σk=1∞ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını, R, bulun.
Σ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏx₀ = −1
R =
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = cos x, x = 1,5 noktasında n. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. M = 1 ile Lagrange sınırı M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanarak, hatanın 1 × 10⁻⁵ değerinin altında olmasını garanti eden en küçük dereceyi, n, bulun.
f(x) = cos xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Çok değişkenli analizOrta
z = 2x³y − 4x² − 2y³ − xy, x = 3t ve y = 2t² − 1. t = −1 anında dz/dt değerini bulmak için zincir kuralını kullanın.
z = 2x³y − 4x² − 2y³ − xyx = 3ty = 2t² − 1t = −1
dz/dt =
6.Çok değişkenli analizZor
f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y fonksiyonunun kritik noktalarını bulun, sınıflandırın ve yerel maksimumundaki f değerini, fmax, verin.
f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y
fmax =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
y″ + 6y′ + 5y = 0 denklemini y(0) = 5 ve y′(0) = -2 ile çözün. y(2) değerini bulun.
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(2) =
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir sistem t ≥ 0 için y″ + y′ + 25,25y = 126,3 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. y(0,25) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.
y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: I = 7,34
Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.
u ve dv’yi seçin
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
İlkel fonksiyon
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
Limitler
(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34
Cevap
I = 7,34
2.İntegraller
Cevap: A = 2,667
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Kesişim noktaları
2x2 = 4x → x = 0, x = 2
Üst eksi alt integrali alın
A = [2x2 − 0,6667x3]02 = 2,667
Cevap
A = 2,667
3.Diziler ve seriler
Cevap: R = 2,718
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Katsayılar
ck/ck+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e
Yarıçap
R = 2,718
Cevap
R = 2,718
Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.
4.Diziler ve seriler
Cevap: n = 10
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Artan n için sınırlar
n = 9: 1,589 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
En küçük derece
n = 10
Cevap
n = 10
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: dz/dt = 459
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Nokta ve hızlar
x(−1) = −3, y(−1) = 1
dx/dt = 3, dy/dt = 4t = −4
Kısmi türevler
fx = 6x²y − 8x − y = 77
fy = 2x³ − 6y² − x = −57
Zincir kuralı
dz/dt = 77·3 + (−57)·(−4) = 459
Cevap
dz/dt = 459
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: fmax = 3
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Kritik noktalar
fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün.
fx = −(3x² − 3) = 0
fy = −(2y + 2) = 0
(1, −1), (−1, −1)
İkinci türev testi
(1, −1): fxx = −6, fyy = −2, fxy = 0, D = 12 → yerel maksimum
(−1, −1): fxx = 6, fyy = −2, fxy = 0, D = −12 → eyer noktası
Ekstremumdaki değer
f(1, −1) = 3
Cevap
fmax = 3
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(2) = 0,7781
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.
Karakteristik kökler
(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5
Başlangıç değerlerinden sabitler
A + B = 5, −1A − 5B = -2
A = 5,75, B = −0,75
Hesaplayın
y(2) = 5,75·e−2 + (−0,75)·e−10 = 0,7781
Cevap
y(2) = 0,7781
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(0.25) = 3,19
İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.