Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx
Yöntem
Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Diziler ve seriler
Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Yöntem
Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Çok değişkenli analiz
Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Yöntem
Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Diferansiyel denklemler
Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Alıştırma soruları
1.İntegrallerOrta
I = ∫01 e2x dx'i hesaplayın.
f(x) = e2x[0, 1]
I =
2.İntegrallerZor
y = 3x doğrusu ile y = x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.
y = 3xy = x²
V =
3.Diziler ve serilerOrta
S = Σk=1∞ 6/(k(k + 2)) toplamını bulun.
ak = 6/(k(k + 2))
S =
4.Diziler ve serilerZor
f(x) = e−x fonksiyonunun a = 1 civarındaki Taylor serisinde (x − 1)² teriminin katsayısını, c₂, bulun.
f(x) = e−xa = 1k = 2
c₂ =
5.Çok değişkenli analizOrta
f(x, y) = −4xy³ + 2x² − 2y³ + 3xy için (1, 3) noktasında f’nin en büyük değişim hızını, yani |∇f| değerini, bulun.
f(x, y) = −4xy³ + 2x² − 2y³ + 3xyP = (1, 3)
|∇f| =
6.Çok değişkenli analizZor
I = ∫00,8 ∫y0,8 ex² dx dy integrali bu sırayla hesaplanamaz. İntegral sırasını değiştirin ve hesaplayın.
f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
83 °C’deki bir fincan kahve 24 °C’deki bir odada bırakılıyor. 11 dakika sonra sıcaklığı 58 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 73 °C’ye ulaşır?
T0 = 83 °CTa = 24 °CT(11) = 58 °CT = 73 °C
t = min
8.Diferansiyel denklemlerZor
Bir tankta 400 L saf su var. Litre başına 0,25 kg tuz içeren tuzlu su 20 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 15 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Çözeltiler
1.İntegraller
Cevap: I = 3,195
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = e2x/2
Sınırları yerine koyun
I = (e2 − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195
Cevap
I = 3,195
2.İntegraller
Cevap: V = 101,8
Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.
Kesişim noktaları
3x = 1x² → x = 0, x = 3
Rondela (pul) yöntemi
V = π∫₀3 ((3x)² − (1x²)²) dx
İntegral alın
V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8
Cevap
V = 101,8
3.Diziler ve seriler
Cevap: S = 4,5
Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.
Kısmi kesirler
6/(k(k + 2)) = (6/2)·(1/k − 1/(k + 2))
İptal
S = (6/2)·(1 + 1/2) = 4,5
Cevap
S = 4,5
4.Diziler ve seriler
Cevap: c₂ = 0,1839
Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.
Türev f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = (−1)²·e−x
Katsayı
c₂ = (−1)²·e−1/2! = 0,1839
c₂ = 0,1839
Cevap
c₂ = 0,1839
5.Çok değişkenli analiz
Cevap: |∇f| = 185,2
Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Kısmi türevler
fx = −4y³ + 4x + 3y → fx(1, 3) = −95
fy = −12xy² − 6y² + 3x → fy(1, 3) = −159
Gradyanın uzunluğu
|∇f| = √((−95)² + (−159)²) = 185,2
Cevap
|∇f| = 185,2
6.Çok değişkenli analiz
Cevap: I = 0,4482
Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).
Bölge
0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 0,8
Ters sıra
I = ∫00,8 ∫0x ex² dy dx = ∫00,8 x·ex² dx
u = x² yerine koyma
I = [ex²/2]00,8 = 0,4482
Cevap
I = 0,4482
7.Diferansiyel denklemler
Cevap: t = 3,706 min
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma sabiti
k = ln(59/34)/11 = 0,05011 min⁻¹
Hedefe ulaşma süresi
t = ln(59/49)/0,05011 = 3,706 min
Cevap
t = 3,706 min
8.Diferansiyel denklemler
Cevap: m = 52,76 kg
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.