Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx'i hesaplayın.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

2.İntegrallerZor

y = x² ve y = 2x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = x²y = 2x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ serisine oran testini uygulayın. L = lim |a_k+1/a_k| değerini bulun.

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = cos(3x) fonksiyonunun 4. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(0,5) değerini yaklaşık olarak bulun. P₄(0,5) değerini verin.

f(x) = cos(3x)n = 4x = 0,5

P₄(0.5) =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(1,9, −0,95) değerini yaklaşık olarak bulmak için f(x, y) = 2 sin(−2x + 2y) fonksiyonunun (2, −1) noktasındaki teğet düzlemini kullanın. Doğrusal yaklaşımı, L, verin.

f(x, y) = 2 sin(−2x + 2y)(a, b) = (2, −1)(x, y) = (1,9, −0,95)

L =

6.Çok değişkenli analizZor

I = ∫₀¹ ∫_x¹ e^y² dy dx integrali bu sırayla hesaplanamaz. İntegral sırasını değiştirin ve hesaplayın.

f = e^y²0 ≤ x ≤ y ≤ 1

I =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

3 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 28 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,05 min⁻¹ ile 18 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 3 °CT_a = 28 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 18 min

T = °C

8.Diferansiyel denklemlerZor

y(0) = 2 koşuluyla y′ + 0,5y = 8e^−3t denklemini çözün. y(0,5) değerini bulun.

y′ + 0,5y = 8e^−3ty(0) = 2

y(0.5) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 1,5

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Değişken değiştirme

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

İntegral alın ve sınırları koyun

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Cevap

I = 1,5

2.İntegraller

Cevap: A = 1,333

Kesişim noktaları

x² = 2x → x = 0, x = 2

Üst eksi alt integrali alın

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Cevap

A = 1,333

3.Diziler ve seriler

Cevap: L = 0,7358

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Ardışık terimlerin oranı

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

Sonuç

L = 0,7358 < 1

Cevap

L = 0,7358

L < 1; bu yüzden seri yakınsar.

4.Diziler ve seriler

Cevap: P₄(0.5) = 0,08594

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Maclaurin polinomu

P₄(x) = 1 − 4,5x² + 3,375x⁴

Yerine koyun

P₄(0,5) = 1 − 1,125 + 0,210938 = 0,08594

Cevap

P₄(0,5) = 0,08594

Tam değer f(0,5) = 0,0707372’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, −0,0152003, küçülür.

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: L = 1,135

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki değer ve eğimler

f(2, −1) = 0,5588

f_x = −4 cos(−2x + 2y) → f_x(2, −1) = −3,841

f_y = 4 cos(−2x + 2y) → f_y(2, −1) = 3,841

Teğet düzlem

z = 0,5588 − 3,841(x − 2) + 3,841(y + 1)

z = −3,841x + 3,841y + 12,08

Doğrusal yaklaşım

L = 0,5588 + (−3,841)·(−0,1) + 3,841·0,05 = 1,135

Cevap

L = 1,135

Tam değer f = 1,101371’dır; adım küçük olduğu için düzlem ona yakındır.

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: I = 0,8591

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Bölge

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1

Ters sıra

I = ∫₀¹ ∫₀^y e^y² dx dy = ∫₀¹ y·e^y² dy

u = y² yerine koyma

I = [e^y²/2]₀¹ = 0,8591

Cevap

I = 0,8591

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 17,84 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 28 + (−25)·e^−0,05t

t’yi yerine koyun

T(18) = 28 + (−25)·0,4066 = 17,84 °C

Cevap

T = 17,84 °C

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.5) = 3,336

İntegrasyon çarpanı

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 8e^−2,5t

Genel çözüm

y = 8/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −3,2·e^−3t + C·e^−0,5t

Başlangıç koşulu

2 = −3,2 + C → C = 5,2

Hesaplayın

y(0,5) = −3,2·0,2231 + 5,2·0,7788 = 3,336

Cevap

y(0,5) = 3,336

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2