Analiz 2: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor polinomu: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Çok değişkenli analiz

Kısmi türevler: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradyan: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Yönlü türev: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
İkinci türev testi: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Yöntem

Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
Gradyan sorularında ∇f = (f_x, f_y) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
Ekstremumlar için f_x = 0 ve f_y = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = f_xx·f_yy − f_xy² ile sınıflandırın.
Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.İntegrallerOrta

I = ∫₀² x·sin x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).

∫₀² x·sin x dx

I =

2.İntegrallerZor

y = 2x² ve y = 3x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x²y = 3x

A =

3.Diziler ve serilerOrta

Σ_k=1^∞ k·4ᵏ·(x − 2)ᵏ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını, R, bulun.

Σ k·4ᵏ·(x − 2)ᵏx₀ = 2

R =

4.Diziler ve serilerZor

f(x) = sin x, x = 1 noktasında n. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. M = 1 ile Lagrange sınırı M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanarak, hatanın 0,001 değerinin altında olmasını garanti eden en küçük dereceyi, n, bulun.

f(x) = sin xx = 1M = 1ε = 0,001

n =

5.Çok değişkenli analizOrta

f(0,7, 0,55) değerini yaklaşık olarak bulmak için f(x, y) = −2xe^2y fonksiyonunun (0,5, 0,5) noktasındaki teğet düzlemini kullanın. Doğrusal yaklaşımı, L, verin.

f(x, y) = −2xe^2y(a, b) = (0,5, 0,5)(x, y) = (0,7, 0,55)

L =

6.Çok değişkenli analizZor

I = ∫₀^1,5 ∫_x^1,5 e^y² dy dx integrali bu sırayla hesaplanamaz. İntegral sırasını değiştirin ve hesaplayın.

f = e^y²0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5

I =

7.Diferansiyel denklemlerOrta

y″ + 5y′ + 4y = 0 denklemini y(0) = 3 ve y′(0) = 1 ile çözün. y(1) değerini bulun.

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 1

y(1) =

8.Diferansiyel denklemlerZor

y″ + y′ + 4,25y = 0 denklemini y(0) = 2 ve y′(0) = 0 ile (durgun halden bırakılarak) çözün. y(0,75) değerini bulun; açılar radyan cinsinden.

y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.75) =

3Çözeltiler

1.İntegraller

Cevap: I = 1,742

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

İlkel fonksiyon

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limitler

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Cevap

I = 1,742

2.İntegraller

Cevap: A = 1,125

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Üst eksi alt integrali alın

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Cevap

A = 1,125

3.Diziler ve seriler

Cevap: R = 0,25

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |a_k+1/a_k|; kök testi: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σc_k(x − x₀)ᵏ, R = lim |c_k/c_k+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

c_k/c_k+1 = (1/4)·(k/(k + 1)) → 1/4

Yarıçap

R = 0,25

Cevap

R = 0,25

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

4.Diziler ve seriler

Cevap: n = 6

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Artan n için sınırlar

n = 5: 0,001389 ≥ 0,001

n = 6: 0,0001984 < 0,001

En küçük derece

n = 6

Cevap

n = 6

5.Çok değişkenli analiz

Cevap: L = −4,077

Gradyan: ∇f = (f_x, f_y) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle D_uf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Noktadaki değer ve eğimler

f(0,5, 0,5) = −2,718

f_x = −2·e^2y → f_x(0,5, 0,5) = −5,437

f_y = −4xe^2y → f_y(0,5, 0,5) = −5,437

Teğet düzlem

z = −2,718 − 5,437(x − 0,5) − 5,437(y − 0,5)

z = −5,437x − 5,437y + 2,718

Doğrusal yaklaşım

L = −2,718 + (−5,437)·0,2 + (−5,437)·0,05 = −4,077

Cevap

L = −4,077

Tam değer f = −4,205832’dır; adım küçük olduğu için düzlem ona yakındır.

6.Çok değişkenli analiz

Cevap: I = 4,244

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada f_x = f_y = 0’dır. D = f_xxf_yy − f_xy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve f_xx > 0 yerel minimum, D > 0 ve f_xx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

Bölge

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1,5

Ters sıra

I = ∫₀^1,5 ∫₀^y e^y² dx dy = ∫₀^1,5 y·e^y² dy

u = y² yerine koyma

I = [e^y²/2]₀^1,5 = 4,244

Cevap

I = 4,244

7.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(1) = 1,57

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = e^rt deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·e^r₁t + B·e^r₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·e^rt verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 biçiminde yazıldığında ω_n doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik kökler

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Başlangıç değerlerinden sabitler

A + B = 3, −1A − 4B = 1

A = 4,333, B = −1,333

Hesaplayın

y(1) = 4,333·e⁻¹ + (−1,333)·e⁻⁴ = 1,57

Cevap

y(1) = 1,57

8.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(0.75) = 0,44

Karmaşık kökler

r = −0,5 ± 2j

Sabitler

A = 2, B = 0,5·2/2 = 0,5

Hesaplayın

y(0,75) = e^−0,375(2·cos 1,5 + 0,5·sin 1,5) = 0,44

Cevap

y(0,75) = 0,44

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2