CFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 20 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Paranın zaman değeri

Gelecek değer: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Bugünkü değer: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Yılda birden çok dönem: i = r/m, N = m·n
Anüite, bugünkü değer: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anüite, gelecek değer: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Yöntem

Her nakit akışını ve zamanlamasını gösteren bir zaman çizelgesi çizin.
Faiz oranını döneme uydurun: aylık ödemeler için aylık oran.
Tek tutarlar için FV = PV·(1 + i)ⁿ, eşit ödemeler için anüite formüllerini kullanın.
Cevabın işaretini ve büyüklük mertebesini kontrol edin.

NBD ve IRR

Net bugünkü değer: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Eşit nakit akışları: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
İç verim oranı: NPV = 0 yapan r
Karar: NPV > 0 ise (veya IRR > gerekli getiri) kabul et

Yöntem

Tüm nakit akışlarını yıllarıyla listeleyin; 0. yıldaki yatırım negatiftir.
Her nakit akışını iskonto edin: CF_t/(1 + r)^t.
NBD’yi bulmak için toplayın. Pozitif değer, projenin r’den fazla kazandırdığı anlamına gelir.
İVO için NBD’yi sıfır yapan oranı deneme yoluyla veya enterpolasyonla bulun.

Tahvil fiyatlaması ve getiri

Tahvil fiyatı: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Altı aylık: C/2, y/2 ve 2n dönem
Cari getiri: C/P
Fiyat ve getiri: getiri artar → fiyat düşer

Yöntem

Dönem başına kuponu ve dönem başına getiriyi bulun.
Fiyat = kuponların bugünkü değeri (bir anüite) + nominal değerin bugünkü değeri.
Altı aylık kuponlarda kuponun yarısını, getirinin yarısını ve dönem sayısının iki katını kullanın.
Kontrol: getiri kupon oranının üstündeyse fiyat nominal değerin altındadır.

CAPM ve WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Firma değeri: V = E + D

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Paranın zaman değeriOrta

Bir mülkün gelecek yıl €10 000 net kira getirmesi bekleniyor. Kiranın sonsuza kadar yıllık %2 artması bekleniyor. Gerekli getiri yıllık %4. Mülkün bugünkü değeri PV değerini bulun.

C₁ = €10 000g = 2%r = 4%

PV = €

2.Paranın zaman değeriZor

€250 000 tutarındaki bir kredi 20 yıl boyunca eşit aylık taksitlerle ödenir. Faiz oranı aylık bileşik, yıllık %5,4'dir. Aylık taksit A'ü bulun.

P = €250 0005,4% / 12N = 240

A = €

3.NBD ve IRROrta

€60 000 tutarındaki bir yatırım 1'den 3'e kadar yılların sonunda şu nakit akışlarını sağlar: €18 000, €26 000, €21 000. Sermaye maliyeti %12'tür. Net bugünkü değer NPV'ü bulun.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 000CF₂ = 26 000CF₃ = 21 000

NPV = €

4.NBD ve IRRZor

€50 000 tutarındaki bir yatırım 4 yıl boyunca her yılın sonunda €16 500 getiriyor. İç verim oranı IRR değerini yüzde olarak bulun.

C₀ = €50 000CF = €16 500n = 4

IRR = %

5.Tahvil fiyatlaması ve getiriOrta

Nominal değeri €1 000 olan bir tahvilin vadesi 3 yıl sonradır ve yıllık kupon öder. Vadeye kadar getiri 7% iken €921 fiyattan satılıyor. Kupon oranı c değerini yüzde olarak bulun.

F = €1 000n = 3P = €921YTM = 7%

c = %

6.Tahvil fiyatlaması ve getiriZor

Nominal değeri €1 000 olan bir tahvil yıllık 8% kupon ödüyor ve vadesi 6 yıl sonra doluyor. Vadeye kadar getiri 5,5%. Macaulay durasyonu D değerini yıl cinsinden bulun.

F = €1 000kupon = 8%n = 6YTM = 5,5%

D = yıl

7.CAPM ve WACCOrta

Bir şirketin €12 000 000 değerinde öz sermayesi ve €2 000 000 değerinde borcu var. Öz sermaye maliyeti 10%, vergi öncesi borç maliyeti 5% ve vergi oranı 25,8%. WACC’yi bulun.

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM ve WACCZor

Bir şirketin her biri €56,00 olan 1 000 000 hissesi ve her biri €1 000 fiyattan işlem gören 20 000 tahvili var. Vergi öncesi borç maliyeti 3% ve vergi oranı 30%. Hissenin betası 0,6, risksiz faiz oranı 3,5% ve piyasa getirisi 9,5%. WACC’yi bulun.

β = 0,6r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 11, 19, 36, 12, 15, 12, 50.

n = 7

s =

10.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 42 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 12x = 42

z =

11.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,35

Var(X) =

12.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,25 olasılıkla €20, 0,01 olasılıkla €200 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€20: p = 0,25€200: p = 0,01

E(G) = €

13.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,3 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,3 mm

P =

14.Normal dağılımZor

Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Güven aralıklarıOrta

20 birimlik bir örneklemin ortalaması 101,5 ve standart sapması s = 7. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 20x̄ = 101,5s = 790%t(19) = 1,729

alt sınır =

16.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 30 milin çaplarının örneklem standart sapması 5 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 29 ile χ² dağılımının %2,5’i 16,047 değerinin altında, %2,5’i 45,722 değerinin üstündedir.

n = 30s = 5 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

17.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 201,5, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 201,5s = 5n = 64

t =

18.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 97. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 97σ = 15n = 3699%

U =

19.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

20.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (9, 36) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(9, 36)

e =

3Çözeltiler

1.Paranın zaman değeri

Cevap: PV = 500000 €

Paranın zaman değeri: bugünkü para, faiz kazanabileceği için aynı miktarın ileride olandan daha değerlidir. Dönem başına i faiz oranıyla bir tutar FV = PV·(1 + i)ⁿ olarak büyür. Eşit ödemeler dizisi (anüite) her ödeme toplanarak değerlenir; anüite formülleri buradan gelir.

Büyüyen perpetüite

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,04 − 0,02) = 10 000/0,02 = €500 000,00

Cevap

PV = €500 000,00

2.Paranın zaman değeri

Cevap: A = 1706 €

Aylık oran ve taksit sayısı

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Taksit

N eşit A ödemesinin bugünkü değeri A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i'dir. Bunu krediye eşitleyin ve A'yı çözün.

(1 + i)^−N = 0,3404

A = 250 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 705,63

Cevap

A = €1 705,63

3.NBD ve IRR

Cevap: NPV = −8254 €

Net bugünkü değer: her nakit akışını gerekli getiri oranı r ile bugüne indirgeyin ve toplayın: NBD = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. NBD > 0 olan proje r'den fazla kazandırır ve değer yaratır. İç verim oranı (IRR), NBD = 0 yapan orandır.

Her nakit akışının bugünkü değeri

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 18 000/1,12 = 16 071,43

CF₂/(1 + 0,12)² = 26 000/1,254 = 20 727,04

CF₃/(1 + 0,12)³ = 21 000/1,405 = 14 947,39

Toplayın

NPV = €−8 254,15

Cevap

NPV = €−8 254,15

NBD negatif, yani proje gerekli getiriden azını kazandırır.

4.NBD ve IRR

Cevap: IRR = 12,11 %

Gerekli anüite faktörü

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 50 000/16 500 = 3,03

Oranı çözün

Oran arttıkça anüite faktörü azalır; oranı iki değer arasına alın ve aralığı daraltın.

i = 12%: 3,037

i = 13%: 2,974

IRR = 12,11%

Cevap

IRR = 12,11%

5.Tahvil fiyatlaması ve getiri

Cevap: c = 3,99 %

Tahvil fiyatlaması: bir tahvilin fiyatı, vadeye kadar getiri (YTM) ile iskonto edilmiş nakit akışlarının bugünkü değeridir: kuponlar bir anüite oluşturur ve nominal değer vadede geri ödenir. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Getiri kupon oranının üzerindeyse tahvil nominal değerinin altında işlem görür, tersi durumda üstünde.

Nominal değerin bugünkü değeri

1000·(1 + 0,07)⁻³ = €816,30

Kupon

C = (921 − 816,30)/2,624 = €39,90

Kupon oranı

c = 39,9/1000 = 3,99%

Cevap

c = 3,99%

6.Tahvil fiyatlaması ve getiri

Cevap: D = 5,056 yıl

Durasyon: Macaulay durasyonu, nakit akışlarının bugünkü değerleri ağırlık alınarak bir tahvilin nakit akışlarını ödediği ağırlıklı ortalama zamandır: D = Σ t·PVₜ/P. Düzeltilmiş durasyon D/(1 + y), getirideki küçük bir değişim için fiyattaki yüzde değişimi tahmin eder: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Her nakit akışının bugünkü değeri

t = 1: 80/1,055 = 75,83, t·PV = 75,83

t = 2: 80/1,113 = 71,88, t·PV = 143,75

t = 3: 80/1,174 = 68,13, t·PV = 204,39

t = 4: 80/1,239 = 64,58, t·PV = 258,31

t = 5: 80/1,307 = 61,21, t·PV = 306,05

t = 6: 1080/1,379 = 783,27, t·PV = 4 699,59

Durasyon

P = 1 124,89

D = 5 687,93/1 124,89 = 5,056

Cevap

D = 5,056 yıl

7.CAPM ve WACC

Cevap: WACC = 9,101 %

Sermaye maliyeti: CAPM, hissedarların beklediği getiriyi verir: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Ağırlıklı ortalama sermaye maliyeti, öz sermaye ve borcu piyasa değerlerine göre birleştirir: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), burada V = E + D. Faiz vergiden düşülebilir, (1 − T) bu yüzdendir.

Ağırlıklar

V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·10% + 0,1429·5%·(1 − 0,258) = 9,101%

Cevap

WACC = 9,101%

8.CAPM ve WACC

Cevap: WACC = 5,784 %

Piyasa değerleri

E = 1 000 000·€56,00 = €56 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Öz sermaye maliyeti (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,6·6% = 7,1%

Ağırlıklar

V = €76 000 000, E/V = 0,7368, D/V = 0,2632

WACC

WACC = 0,7368·7,1% + 0,2632·3%·(1 − 0,3) = 5,784%

Cevap

WACC = 5,784%

9.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,05

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 155/7 = 22,14

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−11,14)² + (−3,143)² + 13,86² + (−10,14)² + (−7,143)² + (−10,14)² + 27,86² = 1359

Standart sapma

s = √(1359/6) = 15,05

Cevap

s = 15,05

10.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (42 − 60)/12 = −1,5

Cevap

z = −1,5

11.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,64

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,35 = 8,4

Varyans

Var(X) = 8,4 − 2,6² = 1,64

Cevap

Var(X) = 1,64

12.Olasılık

Cevap: E(G) = −3 €

Net sonuçlar

G: 10 (p = 0,25), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)

Beklenen değer

E(G) = 10·0,25 + 190·0,01 − 10·0,74 = −3 €

Cevap

E(G) = −3 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

13.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9192

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192

Cevap

P = 0,9192

14.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7389

Farkın dağılımı

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Cevap

P = 0,7389

15.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 98,79

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Hata payı

E = 1,729·7/√20 = 2,706

Aralık

101,5 ± 2,706 → [98,79, 104,2]

Cevap

alt sınır = 98,79

16.Güven aralıkları

Cevap: σ = 6,722 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 29·5² = 725

σ² için sınırlar

725/45,722 = 15,86

725/16,047 = 45,18

σ için sınır

σ = √45,18 = 6,722 µm

Cevap

σ = 6,722 µm

σ için %95 aralık: [3,982, 6,722] µm.

17.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Test istatistiği

t = (201,5 − 200)/0,625 = 2,4

Cevap

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

18.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 103,4

Hata payı

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Aralık sınırı

U = 97 + 6,44 = 103,4

Cevap

U = 103,4

19.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9808

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 113,2

Korelasyon katsayısı

r = −33/√(10·113,2) = −0,9808

Cevap

r = −0,9808

20.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,248

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 148/6 = 24,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Regresyon doğrusu

b = 248/70 = 3,543

a = 24,67 − 3,543·7 = −0,1333

ŷ = −0,1333 + 3,543·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −0,1333 + 3,543·9 = 31,75

Artık

e = 36 − 31,75 = 4,248

Cevap

e = 4,248

Nokta doğrunun üstündedir.

Bu bağımsız bir alıştırma materyalidir. ExamProblems bu sınavı düzenleyen kuruluşla bağlantılı değildir ve onun tarafından onaylanmamıştır; sınav adı yalnızca içeriği tanımlamak için kullanılmaktadır. CFA® and Chartered Financial Analyst®, CFA Institute kuruluşunun ticari markalarıdır; bu kuruluş ExamProblems ile bağlantılı değildir, onu desteklemez ve doğruluğunu garanti etmez.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income