Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Ağırlıksız bir grafta genişlik öncelikli arama neyi bulur?

  1. AMinimum kapsayan ağacı
  2. BBaşlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları
  3. CTüm graflarda bir topolojik sırayı
  4. DNegatif kenar ağırlıkları içeren graflardaki en kısa yolları
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Maksimal bir eşleşmedeki her kenarın iki uç noktasını almak bir düğüm örtüsü verir. Bu örtü ne kadar iyidir?

  1. AHer zaman minimum bir düğüm örtüsüdür
  2. BEn fazla minimum düğüm örtüsünün iki katı büyüklüğündedir
  3. CEn fazla minimumun log n katıdır
  4. DOptimuma kıyasla kalitesi bilinmez
3.Veri yapılarıOrta

İkili öbeğe yeni bir eleman nasıl eklenir?

  1. AKöke konur ve aşağı kaydırılır
  2. BDaha büyük tüm elemanlar bir yer sağa kaydırılarak sıralı konumuna eklenir
  3. CDizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)
  4. DTüm öbek sıfırdan yeniden oluşturulur
4.Veri yapılarıZor

Bir nesne bir karma haritasında (hash map) anahtar olarak saklanıyor ve ardından karma fonksiyonunda kullanılan bir alanı değiştiriliyor. Olası sonuç nedir?

  1. ANesne eski karma değerinin kovasında durduğu için onu arama başarısız olabilir
  2. BHarita anahtarı otomatik olarak yeni kovasına taşır
  3. CHiçbir şey değişmez, çünkü bir anahtarın karma değeri yalnızca program başlarken bir kez hesaplanır
  4. DAlan değiştiği anda harita bir hata fırlatır
5.Graf kuramıOrta

Bağlantılı bir grafın 17 köşesi ve 17 kenarı vardır. Bir kapsayan ağaç kalması için kaç kenar (k) kaldırılmalıdır?

|V| = 17|E| = 17
k =
6.Graf kuramıZor
252137128ABCDEF

Ağırlıklı grafta A’dan F köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(F)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: F
d(F) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · Başlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları

Cevap neden bu

BFS düğümleri kaynaktan uzaklıklarına (kenar sayısı) göre sırayla ziyaret eder, bu yüzden ağırlıksız en kısa yolları O(V + E) sürede bulur.

Cevap

B · Başlangıç düğümünden kenar sayısı cinsinden en kısa yolları
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · En fazla minimum düğüm örtüsünün iki katı büyüklüğündedir

Cevap neden bu

Eşleşme kenarları ortak düğüm paylaşmaz, bu yüzden optimum kenar başına en az bir düğüm gerektirir, bu yöntem ise iki düğüm alır: bir 2-yaklaşım.

Cevap

B · En fazla minimum düğüm örtüsünün iki katı büyüklüğündedir
3.Veri yapıları

Cevap: C · Dizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)

Cevap neden bu

Sona eklemek ağacı tam tutar; ebeveynle yer değiştirmek düzeni O(log n) adımda geri getirir.

Cevap

C · Dizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)
4.Veri yapıları

Cevap: A · Nesne eski karma değerinin kovasında durduğu için onu arama başarısız olabilir

Cevap neden bu

Anahtarın konumu eski karma değerine göre seçilmişti; yeni bir karma değeriyle aramalar yanlış kovayı arar, bu nedenle anahtarlar değişmez (immutable) olmalıdır.

Cevap

A · Nesne eski karma değerinin kovasında durduğu için onu arama başarısız olabilir
5.Graf kuramı

Cevap: k = 1

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Kapsayan ağacın kenarları

17 − 1 = 16

Kaldırılacak kenarlar

k = 17 − 16 = 1

Cevap

k = 1
6.Graf kuramı

Cevap: d(F) = 10

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): C: 2
C (2): B: 7, E: 15
B (7): D: 9
D (9): F: 10
F (10): E: 12
E (12)

En kısa yol

A → C → B → D → F
d(F) = 10

Cevap

d(F) = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms