Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Negatif olmayan kenar ağırlıklarına sahip bir grafta tek bir kaynaktan en kısa yolları hangi algoritma bulur?

  1. ADijkstra algoritması
  2. BHer durumda Bellman–Ford gereklidir
  3. CDerinlik öncelikli arama (DFS)
  4. DKruskal algoritması
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Ana teorem (master theorem) kullanılarak T(n) = 8T(n/2) + O(n²) bağıntısının çözümü nedir?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n log n)
3.Veri yapılarıOrta

AVL ağacı her düğümde hangi denge koşulunu korur?

  1. ASol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla 1 farklıdır
  2. BHer düğümün her iki alt ağacı da tam olarak aynı sayıda düğüm içerir
  3. CHer düğüm kırmızı veya siyaha boyanır
  4. DTüm yapraklar tam olarak aynı derinliktedir
4.Veri yapılarıZor

Basit tekdüze karma varsayımı altında, zincirleme kullanan, n anahtarlı ve m kovalı bir karma tablosunda aramanın beklenen süresi nedir?

  1. AO(m)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1 + α); burada α = n / m
5.Graf kuramıOrta

Bir ağacın derecesi 4 olan 3 köşe, derecesi 2 olan 4 köşe vardır ve diğer tüm köşeleri yapraktır (derece 1). Kaç yaprağı (L) vardır?

3 × deg 44 × deg 2
L =
6.Graf kuramıZor
141686121515ABCDEF

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Dijkstra algoritması

Cevap neden bu

Dijkstra algoritması negatif olmayan ağırlıklarla çalışır; Bellman–Ford negatif ağırlıkları da işler; Kruskal ise minimum kapsayan ağaçlar oluşturur.

Cevap

A · Dijkstra algoritması
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Θ(n³)

Cevap neden bu

log₂ 8 = 3'tür ve n², n³'ten daha yavaş büyür, bu yüzden yapraklar baskındır: Θ(n³).

Cevap

A · Θ(n³)
3.Veri yapıları

Cevap: A · Sol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla 1 farklıdır

Cevap neden bu

Denge faktörü (sol yükseklik − sağ yükseklik) −1, 0 veya 1 olmalıdır; ekleme ve silmelerden sonra döndürmeler bunu geri getirir.

Cevap

A · Sol ve sağ alt ağaçların yükseklikleri en fazla 1 farklıdır
4.Veri yapıları

Cevap: D · O(1 + α); burada α = n / m

Cevap neden bu

Karmayı hesaplamak O(1) sürer ve beklenen zincir uzunluğu α'dır; bu nedenle yeniden boyutlandırarak α'yı sınırlı tutmak O(1) beklenen süre verir.

Cevap

D · O(1 + α); burada α = n / m
5.Graf kuramı

Cevap: L = 8

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Bir ağaç için el sıkışma lemması

L + 20 = 2(L + 7) − 2
L = 8

Cevap

L = 8

Kısayol: L = 2 + Σ (d − 2); toplam, derecesi d ≥ 3 olan köşeler üzerindendir.

6.Graf kuramı

Cevap: W = 34

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

EF (1): al
BE (5): al
CE (6): al
BD (8): al
DE (12): atla, döngü kapatır
AC (14): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 5 + 6 + 8 + 14 = 34

Cevap

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms