Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Floyd–Warshall algoritması neyi ve ne kadar hızlı hesaplar?

  1. ATüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolları O(V³)'te
  2. BTek bir kaynak düğümden diğer tüm düğümlere en kısa yolları O(V + E)'de
  3. CTopolojik sıralamayı O(V²)'de
  4. DMinimum kapsayan ağacı O(E log V)'de
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Dinamik programlama ile çözülen 0/1 sırt çantası problemi O(nW) zaman alır. Buna neden sözde polinom (pseudo-polynomial) denir?

  1. AÇünkü n her zaman küçüktür
  2. BW bir sayıdır, bu yüzden süre W'yi yazmak için kullanılan bit sayısına göre üsteldir
  3. CÇünkü yalnızca W = 0 için çalışır
  4. DÇünkü algoritma rastgeleleştirilmiştir ve çalışma süresi her girdide değişir
3.Veri yapılarıOrta

Hangi çakışma çözümleme yöntemi çakışan anahtarları aynı kovadaki bir listede saklar?

  1. AKaresel sondalama
  2. BAyrı zincirleme (separate chaining)
  3. CÇift karma
  4. DDoğrusal sondalama
4.Veri yapılarıZor

Rütbeye göre birleştirme ve yol sıkıştırma kullanan union-find (ayrık küme) yapısının işlem başına amortize maliyeti nedir?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n)), ters Ackermann fonksiyonu; pratikte sabittir
  4. DTam olarak O(log n)
5.Graf kuramıOrta

K8 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K8
H =
6.Graf kuramıZor
76514191016911213ABCDEFG

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Tüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolları O(V³)'te

Cevap neden bu

Floyd–Warshall, her düğüme sırayla ara nokta olma izni veren ve O(V³) zaman kullanan bir dinamik programlama algoritmasıdır.

Cevap

A · Tüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolları O(V³)'te
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: B · W bir sayıdır, bu yüzden süre W'yi yazmak için kullanılan bit sayısına göre üsteldir

Cevap neden bu

Çalışma süresi W'nin değerine göre polinom, ancak uzunluğuna (log W bit) göre üsteldir; 0/1 sırt çantası problemi NP-tamdır.

Cevap

B · W bir sayıdır, bu yüzden süre W'yi yazmak için kullanılan bit sayısına göre üsteldir
3.Veri yapıları

Cevap: B · Ayrı zincirleme (separate chaining)

Cevap neden bu

Zincirleme her kova için bir bağlı liste (veya başka bir yapı) tutar; açık adresleme ise tablonun kendisinde başka bir boş yuva arar.

Cevap

B · Ayrı zincirleme (separate chaining)
4.Veri yapıları

Cevap: C · O(α(n)), ters Ackermann fonksiyonu; pratikte sabittir

Cevap neden bu

Her iki optimizasyonla işlemler O(α(n)) amortize süre alır; gerçekçi her n için α(n) ≤ 4'tür.

Cevap

C · O(α(n)), ters Ackermann fonksiyonu; pratikte sabittir
5.Graf kuramı

Cevap: H = 2520

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Cevap

H = 2520
6.Graf kuramı

Cevap: W = 45

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

GD (2): al
BC (5): al
AC (6): al
AB (7): atla, döngü kapatır
GB (9): al
DF (10): al
GC (11): atla, döngü kapatır
GE (13): al

Toplam ağırlık

W = 2 + 5 + 6 + 9 + 10 + 13 = 45

Cevap

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms