Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Floyd–Warshall algoritması neyi ve ne kadar hızlı hesaplar?

  1. ATüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolları O(V³)'te
  2. BMinimum kapsayan ağacı O(E log V)'de
  3. CTek bir kaynak düğümden diğer tüm düğümlere en kısa yolları O(V + E)'de
  4. DTopolojik sıralamayı O(V²)'de
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Bazı kenar ağırlıkları negatif olduğunda Dijkstra algoritması neden yanlış sonuçlar verebilir?

  1. AHer negatif kenarda sonsuz döngüye girer
  2. BNegatif sayılar bir öncelik kuyruğunda saklanamaz
  3. CYalnızca yönsüz çizgelerde çalışır
  4. DBir düğüm çıkarıldığında kesinleşir, ama sonraki bir negatif kenar ona yine de daha kısa bir yol verebilir
3.Veri yapılarıOrta

Hangi çakışma çözümleme yöntemi çakışan anahtarları aynı kovadaki bir listede saklar?

  1. AAyrı zincirleme (separate chaining)
  2. BÇift karma
  3. CDoğrusal sondalama
  4. DKaresel sondalama
4.Veri yapılarıZor

n sayılık bir dizi üzerindeki bir Fenwick ağacı (binary indexed tree) hangi işlemleri O(log n)'de destekler?

  1. AMedyanı O(1)'de bulmayı
  2. BÖnek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini
  3. CDiziyi sıralamayı ve ikili aramayı
  4. DHerhangi bir konuma eleman eklemeyi
5.Graf kuramıOrta
ABCDEEuler devresiEuler yolu, devre yokhiçbiri

Bağlantılı grafın bir Euler devresi mi, devre olmayan bir Euler yolu mu var, yoksa hiçbiri mi? Cevabınıza tıklayın.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler devresi
  2. 2Euler yolu, devre yok
  3. 3hiçbiri
6.Graf kuramıZor
620719541314112ABCDEFG

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: A · Tüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolları O(V³)'te

Cevap neden bu

Floyd–Warshall, her düğüme sırayla ara nokta olma izni veren ve O(V³) zaman kullanan bir dinamik programlama algoritmasıdır.

Cevap

A · Tüm düğüm çiftleri arasındaki en kısa yolları O(V³)'te
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · Bir düğüm çıkarıldığında kesinleşir, ama sonraki bir negatif kenar ona yine de daha kısa bir yol verebilir

Cevap neden bu

Açgözlü adım, çıkarılan uzaklıkların kesin olması için negatif olmayan ağırlıklara dayanır; ağırlıklar negatif olabiliyorsa Bellman–Ford kullanılır.

Cevap

D · Bir düğüm çıkarıldığında kesinleşir, ama sonraki bir negatif kenar ona yine de daha kısa bir yol verebilir
3.Veri yapıları

Cevap: A · Ayrı zincirleme (separate chaining)

Cevap neden bu

Zincirleme her kova için bir bağlı liste (veya başka bir yapı) tutar; açık adresleme ise tablonun kendisinde başka bir boş yuva arar.

Cevap

A · Ayrı zincirleme (separate chaining)
4.Veri yapıları

Cevap: B · Önek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini

Cevap neden bu

Fenwick ağacı, her indeksin düşük bitleriyle belirlenen aralıklar üzerinde kısmi toplamlar saklar; bu nedenle hem önek toplamları hem de nokta güncellemeleri O(log n) sürer.

Cevap

B · Önek toplamı sorgularını ve tek eleman güncellemelerini
5.Graf kuramı

Cevap: Euler devresi

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Dereceler

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Tek dereceli köşeler

0
Euler devresi

Cevap

Euler devresi
6.Graf kuramı

Cevap: W = 37

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

GD (1): al
DF (4): al
DE (5): al
AB (6): al
BD (7): al
GE (12): atla, döngü kapatır
GB (13): atla, döngü kapatır
GC (14): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 7 + 14 = 37

Cevap

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms