Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Prim algoritması minimum kapsayan ağacı nasıl oluşturur?

  1. AGenişlik öncelikli arama çalıştırır ve BFS ağacını tutar
  2. BDöngü kalmayana kadar en pahalı kenarı çıkarır
  3. CBir başlangıç düğümünden tek bir ağaç büyütür ve ağaçtan çıkan en ucuz kenarı ekler
  4. DTüm kenarları ağırlığa göre sıralar ve ormanda döngü oluşturmayacaksa her birini ekler
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

En kısa basit yollar polinom zamanda bulunabilir. Genel bir çizgede iki düğüm arasındaki en uzun basit yolu bulmak hakkında ne bilinmektedir?

  1. AKarar verilemezdir
  2. BHer zaman O(V + E)'de çözülebilir
  3. CAğırlıkları negatifleştirilmiş Dijkstra algoritmasıyla çözülebilir
  4. DNP-zordur
3.Veri yapılarıOrta

Komşuluk matrisi kullanarak (u, v) kenarının var olup olmadığını kontrol etmek ne kadar sürer?

  1. AO(1)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Veri yapılarıZor

n sayılık bir akıştan en küçük k değeri O(k) bellek kullanarak tutmanız gerekiyor. Hangi yaklaşım O(n log k) sürede çalışır?

  1. Ak boyutlu bir max-heap; daha küçük bir değer geldiğinde kökü değiştirilir
  2. BSon k değerden oluşan bir FIFO kuyruğu
  3. Cn değerin tamamından oluşan sıralı bir dizi
  4. Dn değerin tamamını tutan bir min-heap; en küçük k değer sonunda çıkarılır
5.Graf kuramıOrta

K7 tam grafının kaç farklı Hamilton devresi (H) vardır? Yalnızca başlangıç köşesi ya da yönü farklı olan devreler aynı sayılır.

K7
H =
6.Graf kuramıZor
11144721183101115ABCDEFG

Ağırlıklı grafta A’dan C köşesine en kısa yolun uzunluğunu (d(C)) bulmak için Dijkstra algoritmasını kullanın.

başlangıç: Abitiş: C
d(C) =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Bir başlangıç düğümünden tek bir ağaç büyütür ve ağaçtan çıkan en ucuz kenarı ekler

Cevap neden bu

Kesen kenarlar için bir öncelik kuyruğu kullanan Prim algoritması ikili yığınla O(E log V) sürede çalışır.

Cevap

C · Bir başlangıç düğümünden tek bir ağaç büyütür ve ağaçtan çıkan en ucuz kenarı ekler
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: D · NP-zordur

Cevap neden bu

V − 1 uzunluğunda en uzun basit yol bir Hamilton yoludur ve bu NP-tam bir problemdir; ancak yönlü döngüsüz çizgelerde doğrusal zamanda çözülebilir.

Cevap

D · NP-zordur
3.Veri yapıları

Cevap: A · O(1)

Cevap neden bu

u satırı, v sütunundaki matris girdisi kenarın var olup olmadığını hemen söyler; komşuluk listesinde u'nun komşularını taramak gerekebilir.

Cevap

A · O(1)
4.Veri yapıları

Cevap: A · k boyutlu bir max-heap; daha küçük bir değer geldiğinde kökü değiştirilir

Cevap neden bu

Max-heap'in kökü tutulan en büyük değerdir; daha küçük her yeni değer onu O(log k)'de değiştirir, böylece öbek her zaman o ana kadarki en küçük k değeri tutar.

Cevap

A · k boyutlu bir max-heap; daha küçük bir değer geldiğinde kökü değiştirilir
5.Graf kuramı

Cevap: H = 360

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Sayın

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Cevap

H = 360
6.Graf kuramı

Cevap: d(C) = 24

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Dijkstra tur tur

Her satır: kesinleşen köşe, kesin uzaklığı ve uzaklığı iyileşen komşular.

A (0): B: 11
B (11): C: 25, D: 15, G: 14
G (14): C: 24, E: 29
D (15): E: 17, F: 26
E (17): F: 25
C (24)
F (25)

En kısa yol

A → B → G → C
d(C) = 24

Cevap

d(C) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms