Veri Yapıları ve Algoritmalar: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 6 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Graf kuramı

El sıkışma lemması
Σ deg(v) = 2|E|
Tam graflar
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Düzgün (regüler) graf
|E| = n·k/2
Ağaç ve orman
|E| = n − 1, |E| = n − c
Ağacın yaprakları
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
devre: tüm derecelerin çift olması; yol: tam olarak 2 tek derece
Kn içindeki Hamilton devreleri
(n − 1)!/2
Dijkstra güncellemesi
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L uzunluğundaki gezintiler
(Mᴸ)ij

Yöntem

  1. Her köşenin derecesini yazın; dereceler toplamı kenar sayısının iki katıdır.
  2. Euler sorularında grafın bağlantılı olduğunu denetleyin ve derecesi tek olan köşeleri sayın.
  3. Ağaçlarda n − 1 kenarı ve el sıkışma lemmasını kullanın.
  4. Dijkstra için geçici uzaklıkların bir tablosunu tutun ve her turda henüz kesinleşmemiş köşelerden en küçük uzaklığa sahip olanı kesinleştirin.
  5. En küçük kapsayan ağaç için kenarları ağırlığa göre sıralayın ve bir döngü kapatan her kenarı atlayın (Kruskal) ya da bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütün (Prim).

2Alıştırma soruları

1.Algoritmalar ve karmaşıklıkOrta

Açgözlü (greedy) bir algoritma:

  1. AHer zaman optimal çözümü verir
  2. BOlası her çözümü dener
  3. CHer adımda yerel olarak en iyi seçimi yapar
  4. DYalnızca özyineleme kullanır
2.Algoritmalar ve karmaşıklıkZor

Yeni bir X probleminin NP-zor olduğunu göstermek için ne yapmalısınız?

  1. AX'in küçük girdiler için polinom algoritması olmadığını göstermek
  2. BX'in polinom zamanda doğrulanabildiğini göstermek
  3. CBilinen bir NP-zor problemi polinom zamanda X'e indirgemek
  4. DX'i polinom zamanda bilinen bir NP-zor probleme indirgemek
3.Veri yapılarıOrta

İkili öbeğe yeni bir eleman nasıl eklenir?

  1. AKöke konur ve aşağı kaydırılır
  2. BDizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)
  3. CDaha büyük tüm elemanlar bir yer sağa kaydırılarak sıralı konumuna eklenir
  4. DTüm öbek sıfırdan yeniden oluşturulur
4.Veri yapılarıZor

Bir kırmızı-siyah ağaç hangi özelliği sağlamalıdır?

  1. AKök kırmızı olmalıdır
  2. BBir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
  3. CHer düğüm kırmızı olmalıdır
  4. DHer kırmızı düğümün çocukları kırmızı olmalıdır, bu yüzden kırmızı düğümler yapraklara kadar kesintisiz zincirler oluşturur
5.Graf kuramıOrta
ABCDEFGEuler devresiEuler yolu, devre yokhiçbiri

Bağlantılı grafın bir Euler devresi mi, devre olmayan bir Euler yolu mu var, yoksa hiçbiri mi? Cevabınıza tıklayın.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Euler devresi
  2. 2Euler yolu, devre yok
  3. 3hiçbiri
6.Graf kuramıZor
5151911613106204ABCDEFG

Ağırlıklı grafın en küçük kapsayan ağacının toplam ağırlığını (W) bulun.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Çözeltiler

1.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Her adımda yerel olarak en iyi seçimi yapar

Cevap neden bu

Açgözlü algoritmalar hızlıdır ve bazı problemler için optimaldir (ör. Dijkstra, Huffman kodlaması), ancak genel olarak değildir (ör. bazı madeni para sistemlerinde para üstü verme problemi).

Cevap

C · Her adımda yerel olarak en iyi seçimi yapar
2.Algoritmalar ve karmaşıklık

Cevap: C · Bilinen bir NP-zor problemi polinom zamanda X'e indirgemek

Cevap neden bu

Bilinen zor bir problem verimli bir şekilde X'e dönüştürülebiliyorsa, X için hızlı bir algoritma bilinen problemi de çözerdi.

Cevap

C · Bilinen bir NP-zor problemi polinom zamanda X'e indirgemek
3.Veri yapıları

Cevap: B · Dizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)

Cevap neden bu

Sona eklemek ağacı tam tutar; ebeveynle yer değiştirmek düzeni O(log n) adımda geri getirir.

Cevap

B · Dizinin sonuna konur ve öbek özelliğini bozduğu sürece yukarı kaydırılır (sift up)
4.Veri yapıları

Cevap: B · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir

Cevap neden bu

Kırmızı-siyah kuralları: düğümler kırmızı ya da siyahtır, kök siyahtır, kırmızı düğümlerin çocukları siyahtır ve tüm yolların siyah yüksekliği eşittir; bu da yüksekliği ≤ 2 log₂(n + 1) tutar.

Cevap

B · Bir düğümden alt soyundaki yapraklara giden her yol aynı sayıda siyah düğüm içerir
5.Graf kuramı

Cevap: hiçbiri

Euler, Hamilton ve ağaçlar: bağlantılı bir grafın tüm köşelerinin derecesi çiftse bir Euler devresi (her kenar bir kez, başlangıca dönüş), tam olarak iki köşenin derecesi tekse devre olmayan bir Euler yolu vardır; yol bir tek dereceli köşeden ötekine gider. Bir Hamilton devresi her köşeyi bir kez ziyaret eder; Kn grafında bunlardan (n − 1)!/2 tane vardır. n köşeli bir ağacın n − 1 kenarı vardır ve m kenarlı bağlantılı bir graf m − n + 1 kenar kaldırıldıktan sonra bir kapsayan ağaç bırakır.

Dereceler

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Tek dereceli köşeler

C, D, E, F → 4
hiçbiri

Cevap

hiçbiri
6.Graf kuramı

Cevap: W = 41

En kısa yollar ve kapsayan ağaçlar: Dijkstra algoritması her turda bir köşeyi kesinleştirir: geçici uzaklığı en küçük olan, henüz kesinleşmemiş köşeyi. Uzaklığı artık kesindir ve her komşu v için d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) alınır. Kruskal algoritması en küçük kapsayan ağacı, kenarları hafiften ağıra alıp bir döngü kapatacak kenarları atlayarak kurar; Prim algoritması bir başlangıç köşesinden tek bir ağaç büyütür ve her seferinde ağaçtan çıkan en hafif kenarı ekler. n köşeli bir kapsayan ağacın n − 1 kenarı vardır.

Kruskal algoritması

BD (1): al
GD (4): al
AB (5): al
EF (6): al
DF (10): al
DE (13): atla, döngü kapatır
AC (15): al

Toplam ağırlık

W = 1 + 4 + 5 + 6 + 10 + 15 = 41

Cevap

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms