Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

380 °C’deki dövme çelik bir parça 26 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,03 min⁻¹ ile 57 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.

T₀ = 380 °CT_a = 26 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 57 min

T = °C

2.Diferansiyel denklemlerZor

Bir tankta, içinde 20 kg tuz çözünmüş 100 L su var. Litre başına 0,1 kg tuz içeren tuzlu su 2 L/min debiyle giriyor ve iyi karışmış çözelti aynı debiyle çıkıyor. 85 dakika sonra tankta ne kadar tuz m vardır?

V = 100 Lm₀ = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3.İntegrallerOrta

I = ∫₁³ x·ln x dx değerini hesaplayın.

∫₁³ x ln x dx

I =

4.İntegrallerZor

y = 2x doğrusu ile y = 2x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = 2xy = 2x²

V =

5.TürevlerOrta

f(x) = (4x + 3)⁵ olsun. f′(0)'yi bulun.

f(x) = (4x + 3)⁵x = 0

f′(0) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 4,5x² − 3 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 4,5x² − 3

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

∫₀¹ sin(x²) dx integralini n = 4 şeritli Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. S değerini verin.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 4

S =

8.Sayısal yöntemlerZor

y₃ ≈ y(0,75) değerini tahmin etmek için y′ = 2y, y(0) = −1 üzerinde h = 0,25 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = 2yy(0) = −1h = 0,25

y₃ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: T = 90,03 °C

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma yasasının çözümü

T(t) = 26 + 354·e^−0,03t

t’yi yerine koyun

T(57) = 26 + 354·0,1809 = 90,03 °C

Cevap

T = 90,03 °C

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: m = 11,83 kg

Denklemi kurun

dm/dt = 2·0,1 − (2/100)·m = 0,2 − 0,02·m

Çözün

İntegrasyon çarpanı e^rt/V’dir; çözüm c·V denge değerine yaklaşır.

m(t) = 10 + 10·e^−t/50

t’yi yerine koyun

m(85) = 10 + 10·0,1827 = 11,83 kg

Cevap

m = 11,83 kg

3.İntegraller

Cevap: I = 2,944

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

İlkel fonksiyon

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limitler

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Cevap

I = 2,944

4.İntegraller

Cevap: V = 1,676

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Kesişim noktaları

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

İntegral alın

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

Cevap

V = 1,676

5.Türevler

Cevap: f′(0) = 1620

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Zincir kuralı

f′(x) = 5·(4x + 3)⁴·4

Yerine koyun

f′(0) = 5·3⁴·4 = 1620

Cevap

f′(0) = 1620

6.Türevler

Cevap: x = 3

Türev

f′(x) = 3x² − 9x = 3·(x² − 3x)

f′(x) = 0'ı çözün

x = 0 veya x = 3

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 9: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(0) = −9, f″(3) = 9

x = 3

Cevap

x = 3

7.Sayısal yöntemler

Cevap: S = 0,3099

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Düğümler ve değerler

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0,0624593 + 2·0,247404 + 4·0,533303 + 0,841471 = 3,719327

Simpson kuralı

S = (0,25/3)·3,719327 = 0,3099

Cevap

S = 0,3099

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₃ = −3,375

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = −1 + 0,25·(−2) = −1,5

y₂ = −1,5 + 0,25·(−3) = −2,25

y₃ = −2,25 + 0,25·(−4,5) = −3,375

Grafik

y₃ = −3,375

Cevap

y₃ = −3,375

Tam değer y(0,75) = −4,481689’dir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations