Diferansiyel Denklemler: alıştırma soruları ve sınav soruları

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler ve uygulamaları: büyüme ve bozunma, Newton’un soğuma yasası, karışım problemleri ve integrasyon çarpanıyla doğrusal denklemler; ayrıca formülle çözülemeyen denklemler için Euler ve Heun yöntemleri.

Bu derse ücretsiz çalışBu dersi çalışDeneme sınavına girHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Hızlı tekrar paketi (PDF)Formül kâğıtları, yöntem adımları ve tam çözümlü alıştırma soruları, yazdırmaya hazır.

Bu dersteki konular

  1. Diferansiyel denklemlerüstel büyüme ve azalma · Newton’un soğuma yasası · birinci mertebe lineerhesaplamalar
  2. İntegrallerpolinomlar · üstel fonksiyonlar, logaritmalar ve değişken değiştirme · eğriler arasındaki alanlarhesaplamalar
  3. Türevlerkuvvet kuralı · zincir ve çarpım kuralları · teğetler ve ekstremumlarhesaplamalar
  4. Sayısal yöntemlerkökler ve enterpolasyon · yamuk ve Simpson kuralları · Euler, Heun ve Runge–Kuttahesaplamalar

Diferansiyel Denklemler için sınav ipuçları

  • Önce türü belirleyin: değişkenlerine ayrılabilir, lineer ya da büyüme veya soğuma gibi standart bir model.
  • Sabiti en sonda bulmak için başlangıç koşulunu kullanın.
  • Cevabı denklemde yerine koyarak kontrol edin.

Çözümlü örnekler

Diferansiyel denklemlerKolay
rr² + br + c?

y″ + 4y′ + 3y = 0 denklemi için karakteristik denklemin sıfıra en yakın kökünü r bulun. Çözümün ne kadar yavaş söneceğini bu belirler.

y″ + 4y′ + 3y = 0

İstenen: r

İpuçlarını göster
  1. y = ert yerine koyun.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Çarpanlara ayırın ya da ikinci derece denklem formülünü kullanın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik denklem

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Kökler

r = −1, r = −3
sıfıra en yakın: r = −1

Cevap

r = −1

Genel çözüm y = A·e−1t + B·e−3t’dir.

İntegrallerOrta
xy2y = x·cos x

I = ∫₀2 x·cos x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).

∫₀2 x·cos x dx

İstenen: I

İpuçlarını göster
  1. u = x ve dv = cos x dx alın.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

İlkel fonksiyon

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limitler

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Cevap

I = 0,4024

Çalışma nasıl işler

  • “Bu dersi çalış”, gerçek bir sınavdaki gibi tüm konulardan karışık sorular getirir.
  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • Deneme sınavları süreli ve ipuçsuzdur; sonunda puanınızı ve tam bir değerlendirmeyi görürsünüz.

Bu dersin hesaplayıcıları

Yarı ömür ve üstel bozunma hesaplayıcıAdımlı türev hesap makinesiİntegral hesap makinesi (belirli ve belirsiz)

İlgili dersler

Mühendislik MatematiğiAP Calculus alıştırma sorularıKalkülüs 1Mühendislik Matematiği 2Analiz 2Sayısal Yöntemlerİstatistiğe Girişİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistik
Bu derse ücretsiz çalışBu dersi çalışDeneme sınavına girHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.