Türevler: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: türev alma kuralları · zincir kuralı

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Türevler alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: kuvvet kuralı, zincir ve çarpım kuralları, teğetler ve ekstremumlar.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
xyx = −2

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9 olsun. Grafiğin x = −2 noktasındaki eğimini, yani f′(−2)'yi bulun.

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Sonraki soru →
Türevler konusunu ücretsiz çalışınTürevler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaykuvvet kuralı
  2. Ortazincir ve çarpım kuralları
  3. Zorteğetler ve ekstremumlar

Türevler soruları nasıl çözülür

  1. Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
  2. x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
  3. Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
  4. Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sık yapılan hatalar

  • Zincir kuralında iç türevi unutmak.
  • Bölüm kuralında sırayı yanlış almak.
  • Sabit bir katı çarpım gibi ele almak.

Temel formüller

Kuvvet kuralı
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı
(uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Türevler konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Limitler

1Türev nedir

Türev, bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. Bir arabanın konumu her saat 50 km değişiyorsa hızı 50 km/h’dir: konumun değişim hızı.

Bir grafikte bir noktadaki türev, eğrinin orada eğimidir: çok yakından bakınca ne kadar dik yükseldiği ya da alçaldığı.

Bu eğim, eğriye o noktada değen doğru olan teğetin eğimidir.

xy(1, 1)m = 2

y = x² için x = 1’deki teğetin eğimi 2’dir. Bunu f′(1) = 2 yazarız ve “f asal 1” diye okuruz.

  • Pozitif türev: grafik yükselir.
  • Negatif türev: grafik alçalır.
  • Sıfır türev: grafik orada yataydır, örneğin bir tepede ya da bir çukurda.
Kendini sına f grafiğinin aşağı gittiği bir noktada türev…
  1. negatiftir
  2. pozitiftir
  3. sıfırdır
  4. tanımsızdır

Cevap: negatiftir. Türev eğimdir. Soldan sağa inen bir grafiğin eğimi negatiftir.

2Temel kurallar

Her seferinde limite ihtiyacınız yok. Birkaç kural çoğu fonksiyonu kapsar.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Bu kuvvet kuralıdır: üssü öne indirin ve üssü bir azaltın. Yani (x³)′ = 3x² ve (x)′ = 1.

  • Tek başına bir sabitin türevi 0’dır: değişmez.
  • Sabit çarpan kalır: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Toplamda her terimin türevini ayrı ayrı alın.

Bunları da öğrenin: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x ve (cos x)′ = −sin x.

Kendini sına 4x³ − 2x + 7’nin türevi nedir?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Cevap: 12x² − 2. Her terime kuvvet kuralı: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 ve 7 sabiti 0 verir.

3Çarpım ve zincir kuralları

Başka fonksiyonlardan oluşan fonksiyonları iki kural daha çözer.

Çarpım kuralı, birbiriyle çarpılan iki fonksiyon için:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Zincir kuralı, başka bir fonksiyonun içindeki fonksiyon için: dıştakinin türevini alın, içtekini olduğu gibi bırakın, sonra içtekinin türeviyle çarpın.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Bölüm kuralı bu ikisinden çıkar: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Kendini sına (2x + 5)³’ün türevi nedir?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Cevap: 6(2x + 5)². Dış: 3(2x + 5)². İç: (2x + 5)′ = 2. Çarpın: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². İçteki 2’yi unutmak klasik hatadır.

4Adım adım yöntem

  1. Yapıya bakın: terimlerin toplamı, bir çarpım, bir bölüm ya da başka bir fonksiyonun içindeki fonksiyon.
  2. Önce kökleri ve kesirleri kuvvet olarak yazın: √x = x1/2 ve 1/x² = x−2.
  3. Kuralları dıştan içe, her seferinde bir parçaya uygulayın.
  4. Sonucu sadeleştirin.
  5. Bir değer isteniyorsa sayıyı en son yerine koyun.

Bir grafiğin tepesini ya da çukurunu (ekstremum) bulmak için f′(x) = 0 çözün. İkinci türev hangisi olduğunu söyler: f″ < 0 maksimum, f″ > 0 minimumdur.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 olsun. x = 0’daki eğimi, yerel maksimumu ve yerel minimumu bulun.

1

Terim terim türev alın

Her terime kuvvet kuralını uygulayın. 1 sabiti yok olur.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

x = 0’daki eğim

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Yani x = 0’daki teğet, sağa her birim için 9 birim yükselir.

3

Türevi sıfıra eşitleyin

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Hangisi maksimum?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 negatiftir, bu yüzden x = 1 bir maksimumdur. f″(3) = 6 pozitiftir, bu yüzden x = 3 bir minimumdur.

5

Değerleri bulun

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Grafik bunu doğrular: iki noktada da yatay, (1, 5)’te bir tepe ve (3, 1)’de bir çukur.

Cevap

f′(0) = 9. (1, 5)’te yerel maksimum, (3, 1)’te yerel minimum.

6Sık yapılan hatalar

  • Zincir kuralında içteki fonksiyonun türevini unutmak.
  • (u · v)′ = u′ · v′ yazmak. Çarpım kuralında iki terim vardır.
  • Bölüm kuralında sırayı karıştırmak: payda u′v − uv′ vardır, eksi ile.
  • Türev almadan önce sayıyı yerine koymak. Önce türev alın, sonra yerine koyun.
  • 5x³ gibi sabit katlı bir ifadeyi çarpım saymak. Daha basittir: 5 olduğu gibi kalır.
Kendini sına √x’in türevi nedir?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Cevap: 1/(2√x). √x = x1/2 olduğundan türev ½x−1/2 = 1/(2√x)’tir. Kökü önce kuvvet olarak yazmak işi kolaylaştırır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: bir polinom. Kuvvet kuralını kullanın ve verilen x’teki eğimi bulun.
  • Orta: zincir ya da çarpım kuralı, örneğin (2x + 5)⁵ veya x²·e−x, bir noktada hesaplanır.
  • Zor: teğetler ve ekstremumlar. f′(x) = 0 çözün ve hangi noktanın maksimum olduğuna karar verin.

Eğim soruları için hızlı kontrol: grafiği zihninizde canlandırın. Orada yükseliyorsa cevabınız pozitif olmalıdır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xyx = 1

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7 olsun. Grafiğin x = 1 noktasındaki eğimini, yani f′(1)'yi bulun.

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

İstenen: f′(1)

İpuçlarını göster
  1. Kuvvet kuralı (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ile terim terim türev alın. Sabit kaybolur.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Şimdi x = 1 yerine koyun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Terim terim türev alın

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Yerine koyun

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Cevap

f′(1) = −6
Örnek 2Orta
xyx = 1

f(x) = x3·e−x olsun. f′(1)'yi bulun.

f(x) = x3·e−xx = 1

İstenen: f′(1)

İpuçlarını göster
  1. u = x3 ve v = e−x ile çarpım kuralı.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Çarpım kuralı

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Yerine koyun

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Cevap

f′(1) = 0,7358
Örnek 3Zor
xy

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

İstenen: x

İpuçlarını göster
  1. Yerel maksimum ya da minimumda türev sıfırdır.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. x³ terimi pozitif olan kübik fonksiyonda önce maksimum (küçük x), sonra minimum gelir.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Türev

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

f′(x) = 0'ı çözün

x = 3 veya x = 6

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 27: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Cevap

x = 6

Sorular ve cevaplar

Türevler nedir?

Türev, bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğini ölçer. Bir arabanın konumu her saat 50 km değişiyorsa hızı 50 km/h’dir: konumun değişim hızı.

Bir grafikte bir noktadaki türev, eğrinin orada eğimidir: çok yakından bakınca ne kadar dik yükseldiği ya da alçaldığı.

Türevler soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
  2. x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
  3. Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
  4. Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Türevler konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Zincir kuralında iç türevi unutmak.
  • Bölüm kuralında sırayı yanlış almak.
  • Sabit bir katı çarpım gibi ele almak.
Türevler alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: kuvvet kuralı
  • Orta: zincir ve çarpım kuralları
  • Zor: teğetler ve ekstremumlar

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Limitler

Sonra devam edin

İntegrallerÇok değişkenli analizSayısal yöntemlerDiferansiyel denklemlerOptimizasyonDiziler ve seriler

Hesaplayıcılar

Adımlı türev hesap makinesi

Bu konuyu içeren dersler

Kalkülüs 1Mühendislik MatematiğiDiferansiyel DenklemlerAP Calculus alıştırma soruları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Türevler çalışma kâğıdı
Türevler konusunu ücretsiz çalışınTürevler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.