Vektörler: skaler ve vektörel çarpım: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: skaler çarpım · vektörel çarpım · nokta çarpım

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Vektörler: skaler ve vektörel çarpım alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: büyüklük ve bileşenler, skaler çarpım, vektörel çarpım ve momentler.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
xyza

a = (6, −5, 9) vektörünün büyüklüğünü |a| bulun.

a = (6, −5, 9)
Sonraki soru →
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım konusunu ücretsiz çalışınVektörler: skaler ve vektörel çarpım konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaybüyüklük ve bileşenler
  2. Ortaskaler çarpım
  3. Zorvektörel çarpım ve momentler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım soruları nasıl çözülür

  1. Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
  2. Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
  3. Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Sık yapılan hatalar

  • Bileşenler yerine büyüklükleri toplamak.
  • Vektörel çarpımın orta (y) bileşeninin işaretini yanlış almak.
  • Momentte r = A − O yerine noktanın konumunu kullanmak.
  • Bölgeye bakmadan arctan almak.

Temel formüller

Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım konusunu sıfırdan öğrenin

1Vektör nedir

Bazı büyüklükler yalnızca bir sayı gerektirir: 5 kg’lık bir kütle ya da 20 °C’lik bir sıcaklık. Bunlar skalerlerdir.

Diğer büyüklükler bir yön de gerektirir. Yukarı doğru iten 40 N’luk bir kuvvet, yana doğru iten 40 N’dan çok farklıdır. Bunlar vektörlerdir.

Bir vektörü bileşenleriyle tanımlarsınız: x boyunca, y boyunca ve z boyunca ne kadar uzandığıyla. a = (4, 3, 0) vektörü x boyunca 4, y boyunca 3 ve z boyunca 0 birim uzanır.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Kuvvetler, yer değiştirmeler ve hızların hepsi vektördür. Mühendisler kuvvetleri toplamak, açıları bulmak ve üç boyutta momentleri hesaplamak için vektör matematiğini kullanır.

Vektörler bileşen bileşen toplanır: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Birkaç kuvvetin bileşkesini böyle bulursunuz.

Kendini sına a = (3, 4, 0) vektörünün uzunluğu nedir?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Cevap: 5. Uzunluk √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5’tir. Bileşenleri toplamak (7) yanlıştır çünkü birbirine diktirler ve 25 karekökü unutur.

2Uzunluk, yön ve bileşenler

Büyüklük |a|, vektörün uzunluğudur. Üç boyutta Pisagor’dur:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Birim vektör 1 uzunluğundadır ve aynı yönü gösterir. Her bileşeni büyüklüğe bölerek elde edersiniz:

û = a / |a|

a = (0, 3, 4) için büyüklük 5’tir, yani û = (0, 0,6, 0,8). Kontrol: 0,6² + 0,8² = 1.

xy düzlemindeki bir kuvvet çoğu zaman bir F büyüklüğü ve pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülen bir θ açısı olarak verilir. Bileşenleri şunlardır:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Kosinüs ve sinüs işaretleri kendiliğinden verir. 120°’deki bir kuvvetin x bileşeni negatiftir, çünkü cos 120° = −0,5.

Bileşenlerden açıya geri dönerken arctan(Ry/Rx) yalnızca −90° ile 90° arasında cevap verir. Rx negatifse 180° ekleyin. Yalnızca Ry negatifse 360° ekleyin.

Kendini sına a = (0, 3, 4) yönündeki birim vektörün y bileşeni nedir?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Cevap: 0,6. Büyüklük 5’e bölün: 3/5 = 0,6. 3 bölmeyi unutur, 0,12 |a|² = 25’e böler ve 0,43 bileşenlerin toplamına (7) böler.

3Skaler çarpım ve vektörel çarpım

İki vektörü çarpmanın iki yolu vardır. Skaler çarpım (nokta çarpım) bir sayı verir. Vektörel çarpım yeni bir vektör verir.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Burada θ iki vektör arasındaki açıdır. Skaler çarpım, vektörlerin ne kadar aynı yöne baktığını ölçer. Dik olduklarında sıfırdır.

dFθ|F|·cos θ
  • Açı: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü (a’nın b boyunca olan kısmı): a·b / |b|.
  • Sabit bir kuvvetin bir yer değiştirme boyunca yaptığı iş: W = F·d.
  • a·b = 0 olduğunda iki vektör diktir.

a × b vektörel çarpımı, hem a’ya hem b’ye dik bir vektördür. Uzunluğu, iki vektörün gerdiği paralelkenarın alanına eşittir.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

a = (1, 2, 0) ve b = (3, 1, 0) için: a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Paralelkenarın alanı 5, üçgenin alanı bunun yarısı, 2,5’tir.

Sıra önemlidir: b × a = −(a × b). A noktasında etkiyen bir F kuvvetinin O noktasına göre momenti, r = A − O olmak üzere M = r × F’dir.

Kendini sına a = (2, 1, 0) ve b = (1, 4, 0) için a × b’nin z bileşeni nedir?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Cevap: 7. z bileşeni = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7, b × a’dır (sıra değişmiş), 6 skaler çarpımdır ve 9 iki çarpımı çıkarmak yerine toplar.

4Adım adım yöntem

  1. Her vektörü bileşenleriyle yazın. Büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
  2. Soru noktalar veriyorsa vektörleri onlardan kurun: A’dan B’ye vektör B − A’dır.
  3. Hangi araca ihtiyacınız olduğuna karar verin. Uzunluklar ve yönler: büyüklük ve birim vektör. Açılar, izdüşümler ve iş: skaler çarpım. Alanlar, dik vektörler ve momentler: vektörel çarpım.
  4. Önce formülü yazın, sonra sayıları her seferinde bir bileşen olarak koyun. İşaretleri parantez içinde tutun.
  5. Sonucu kontrol edin: bir birim vektörün uzunluğu 1’dir, a × b, a’ya diktir (yani a·(a × b) = 0) ve vektörler arasındaki açı 0° ile 180° arasındadır.

İki vektöre dik bir birim vektör için n = a × b alın ve uzunluğuna bölün. Soru pozitif bir z bileşeni istiyorsa ve sizinki negatifse tüm işaretleri değiştirin.

a, b ve c kenarlı kutunun (paralelyüzlünün) hacmi |a·(b × c)|’dir: önce vektörel çarpım, sonra skaler çarpım.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Sabit bir kuvvet F = (6, 2, −3) N, bir cismi A(1, 0, 2) noktasından B(3, 4, 2) noktasına doğru bir doğru boyunca itiyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin yaptığı W işini ve kuvvet ile yer değiştirme arasındaki θ açısını bulun.

1

Yer değiştirmeyi kurun

Yer değiştirme A’dan B’ye vektördür: sondan başlangıcı çıkarın.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Skaler çarpımla iş

İş, kuvvet ile yer değiştirmenin skaler çarpımıdır. Karşılık gelen bileşenleri çarpın ve toplayın.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

İki büyüklük

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Açı

dFθ|F|·cos θ

Skaler çarpımın diğer biçimini, F·d = |F|·|d|·cos θ, kullanın ve cos θ için çözün.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Cevabı kontrol edin

İş pozitiftir, bu yüzden açı 90°’den küçük olmalıdır. Öyledir.

Kuvvetin harekete paralel kısmı |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N’dur. Bunu 4,472 m’lik mesafeyle çarpmak yine 20 J verir.

Cevap

W = 20 J ve θ ≈ 50,3°.

6Sık yapılan hatalar

  • Bileşenler yerine büyüklükleri toplamak. Dik açıyla etkiyen 3 N ve 4 N’luk iki kuvvet 5 N verir, 7 N değil.
  • Bir momentte r = A − O yerine noktanın koordinatlarını kullanmak.
  • Bir vektörel çarpımın ortadaki (y) bileşeninin işaretini yanlış almak. O, azbx − axbz’dir, tersi değil.
  • Bir vektörel çarpımda sırayı değiştirmek. b × a, a × b’nin tersi yönü gösterir.
  • Vektörün hangi bölgede olduğunu kontrol etmeden bir yön için arctan almak.
  • Üçgenin alanı için ½’yi unutmak: |AB × AC|’nin yarısıdır.
Kendini sına Bir F = (0, 10, 0) N kuvveti A(3, 0, 0) m noktasında etki ediyor. O(1, 0, 0) m’ye göre momentinin büyüklüğü nedir?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Cevap: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, yani M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. A noktasının kendisini r olarak kullanmak 30 N·m, A + O 40 N·m ve yalnızca O 10 N·m verir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: büyüklük ve bileşenler. Bir vektörün uzunluğu, bir birim vektörün bir bileşeni, büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvetin bileşeni ya da iki kuvvetin bileşkesinin büyüklüğü veya yönü.
  • Orta: skaler çarpım. Bir skaler çarpım, iki vektör arasındaki açı, bir skaler izdüşüm, bir kuvvetin iki nokta arasında yaptığı iş ya da iki vektörü dik yapan k değeri.
  • Zor: vektörel çarpım ve momentler. a × b’nin bir bileşeni, bir paralelkenarın ya da üçgenin alanı, bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, bir birim normal vektör ya da bir üçlü çarpımdan bir kutunun hacmi.

Bir diklik sorusunda a·b = 0 koyun. k cinsinden bir doğrusal denklem verir.

A, B ve C köşeli bir üçgen için kenar vektörlerini kullanın: AB = B − A ve AC = C − A. Alan ½·|AB × AC|’dir.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xy135°F1​F2​

xy düzleminde bir noktaya iki kuvvet etki ediyor: F₁ = 110 N, 0° açıyla ve F₂ = 190 N, 135° açıyla; ikisi de pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülmüştür. Bileşkelerinin yönünü φ, pozitif x ekseninden saat yönünün tersine (0° ile 360° arasında) ölçerek bulun.

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

İstenen: φ (°)

İpuçlarını göster
  1. Her kuvveti x ve y bileşenlerine ayırın.
  2. x bileşenlerini ve y bileşenlerini ayrı ayrı toplayın.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Bileşkenin bileşenleri

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Yön

Rₓ negatiftir, bu yüzden bileşke ikinci ya da üçüncü bölgeye bakar: hesap makinesi açısına 180° ekleyin.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Cevap

φ = 100,3°
Örnek 2Orta
xyzab

a = (−4, −4, 0) ve b = (k, 6, 4) vektörlerinin dik olduğu k değerini bulun.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

İstenen: k

İpuçlarını göster
  1. Dik vektörlerin skaler çarpımı sıfırdır.
  2. a·b = 0 denklemini k bilinmeyen olacak şekilde yazın ve doğrusal denklemi çözün.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım sıfıra eşit

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

k için çözün

k = −(−24)/(−4) = −6

Cevap

k = −6
Örnek 3Zor
xyzABC

Köşeleri A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) ve C(1, 4, −4) olan üçgenin alanını A bulun. Koordinatlar metre cinsindendir.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

İstenen: A (m²)

İpuçlarını göster
  1. Aynı köşeden iki kenar vektörü oluşturun: AB = B − A ve AC = C − A.
  2. Alan ½·|AB × AC|’dir.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Kenar vektörleri

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Vektörel çarpım

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Üçgenin alanı

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Cevap

A = 18,99 m²

Sorular ve cevaplar

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım nedir?

Bazı büyüklükler yalnızca bir sayı gerektirir: 5 kg’lık bir kütle ya da 20 °C’lik bir sıcaklık. Bunlar skalerlerdir.

Diğer büyüklükler bir yön de gerektirir. Yukarı doğru iten 40 N’luk bir kuvvet, yana doğru iten 40 N’dan çok farklıdır. Bunlar vektörlerdir.

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
  2. Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
  3. Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Bileşenler yerine büyüklükleri toplamak.
  • Vektörel çarpımın orta (y) bileşeninin işaretini yanlış almak.
  • Momentte r = A − O yerine noktanın konumunu kullanmak.
  • Bölgeye bakmadan arctan almak.
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: büyüklük ve bileşenler
  • Orta: skaler çarpım
  • Zor: vektörel çarpım ve momentler

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konuyu içeren dersler

StatikMühendislik MatematiğiMühendislik Matematiği 2

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Vektörler: skaler ve vektörel çarpım çalışma kâğıdı
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım konusunu ücretsiz çalışınVektörler: skaler ve vektörel çarpım konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.