Ki-kare testleri: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: ki-kare testi · khi-kare · χ² testi

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Ki-kare testleri alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: uyum iyiliği, bağımsızlık testi, kritik değere göre karar.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
renkkırmızıturuncusarıyeşilmavigözlenen6129442145iddia edilen30%20%20%15%15%

Bir şekerleme üreticisi tabloda gösterilen renk oranlarını iddia ediyor. 200 şekerlik rastgele bir örneklem gözlenen frekansları veriyor. H₀: iddia edilen oranlar doğrudur için ki-kare uyum iyiliği istatistiği χ² değerini hesaplayın.

n = 200k = 5
Sonraki soru →
Ki-kare testleri konusunu ücretsiz çalışınKi-kare testleri konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayuyum iyiliği
  2. Ortabağımsızlık testi
  3. Zorkritik değere göre karar

Temel formüller

Test istatistiği
χ² = Σ(O − E)²/E
Uyum iyiliği
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Bağımsızlık
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritik değerler (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Karar
χ² > χ²crit ise H0’ı reddedin

Ki-kare testleri konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Hipotez testleri ve güven aralıkları

1Ki-kare testi ne yapar?

Bir ki-kare testi (χ²) sayıları karşılaştırır. Gözlediğiniz sayıların beklenen sayılardan rastlantıdan fazla farklı olup olmadığını sorar.

Örnek: bir zarı 60 kez atıyorsunuz. Zar adilse her yüz yaklaşık 60 · 1/6 = 10 kez gelmelidir. Bunlar beklenen sayılar E’dir.

8, 12, 9, 11, 6 ve 14 gözlüyorsunuz. Bunlar gözlenen sayılar O’dur. Adil bir zarda bile asla tam 10 olmazlar. Soru, çok mu uzaklaştıklarıdır.

Her hipotez testinde olduğu gibi H₀ özel bir şey olmadığını söyler: zar adildir veya iki değişken bağımsızdır.

Kendini sına Bir zar adil olup olmadığını sınamak için 120 kez atılıyor. Her yüz için beklenen sayı nedir?
  1. 1/6
  2. 120
  3. 20
  4. 6

Cevap: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. 1/6 olasılığı bir sayı değildir; atış sayısıyla çarpmanız gerekir.

2Test istatistiği

Her kategori için O − E farkını alın, karesini alın ve E’ye bölün. Sonra tüm kategoriler üzerinden toplayın:

χ² = Σ (O − E)² / E

Karesini almak her terimi pozitif yapar. E’ye bölmek, 4’lük bir farkın yalnızca 10 beklendiğinde, 1000 beklendiğine göre daha çok sayılmasını sağlar.

Zar için: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4,2.

Bu uyum iyiliği testi için serbestlik derecesi sd = k − 1’dir; k kategori sayısıdır. Altı yüz sd = 5 verir.

Büyük bir χ², verinin H₀’a kötü uyduğu anlamına gelir. χ², tablodaki kritik değerden büyükse H₀’ı reddedin. α = 0,05’te:

  • sd 1: 3,841, sd 2: 5,991, sd 3: 7,815
  • sd 4: 9,488, sd 5: 11,070, sd 6: 12,592

Zar için 4,2, 11,070’in altındadır; yani zarın adil olmadığına dair bir kanıt yoktur.

Kendini sına Bir kategoride O = 14 ve E = 10’dur. χ²’ye ne katkı yapar?
  1. 0,4
  2. 1,6
  3. 16
  4. 4

Cevap: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Karesini almayı unutmak 0,4, E’ye bölmeyi unutmak 16 verir.

3Bağımsızlık testi

Bir çapraz tablo (kontenjans tablosu) vakaları aynı anda iki değişkene göre sayar; örneğin tedavi (satırlar) ve sonuç (sütunlar). H₀: iki değişken bağımsızdır.

Bağımsızlarsa her hücredeki beklenen sayı toplamlardan çıkar:

E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam

Sonra χ², toplamlar hariç tablonun her hücresi üzerinden, öncekiyle aynı formülle hesaplanır.

df = (r − 1)(c − 1)

Burada r satır sayısı, c sütun sayısıdır; toplamlar sayılmaz. 2×2 bir tablonun sd = 1’dir.

Kendini sına Genel toplamı 120 olan bir tabloda bir hücrenin satır toplamı 40, sütun toplamı 30’dur. Beklenen sayısı nedir?
  1. 10
  2. 1200
  3. 3
  4. 70

Cevap: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200, genel toplama bölmeyi unutur.

4Adım adım yöntem

  1. H₀’ı belirtin: iddia edilen oranlar doğrudur (uyum iyiliği) veya değişkenler bağımsızdır.
  2. Her beklenen sayıyı hesaplayın: E = n · p veya satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam.
  3. Her hücre için (O − E)²/E hesaplayın. χ² için hepsini toplayın.
  4. sd’yi bulun: uyum iyiliği için k − 1, bağımsızlık için (r − 1)(c − 1).
  5. Bu sd için α = 0,05’teki kritik değeri tablodan bulun.
  6. χ² kritik değerden büyükse H₀’ı reddedin. Sonucu sözcüklerle ifade edin.

Kontrol: her satır ve sütundaki beklenen sayıların toplamı, gözlenen sayıların toplamlarıyla aynı olmalıdır.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Bir denemede 120 hasta yeni bir ilaç (A satırı), 100 hasta plasebo (B satırı) alıyor. 1. sütun iyileşen hastaları, 2. sütun iyileşmeyenleri sayar. Sonucun tedaviden bağımsız olup olmadığını α = 0,05’te sınayın.

1

Tabloyu okuyun

12ΣABΣ56641205446100110110220

Satır toplamları: 120 ve 100. Sütun toplamları: 110 ve 110. Genel toplam: 220.

2

Beklenen frekanslar

EA1 = 120 · 110 / 220 = 60, EA2 = 60
EB1 = 100 · 110 / 220 = 50, EB2 = 50
12ΣABΣ56(60)64(60)12054(50)46(50)100110110220
3

İstatistik

χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50
χ² = 0,267 + 0,267 + 0,32 + 0,32 = 1,173
4

Serbestlik derecesi ve kritik değer

sd = (2 − 1)(2 − 1) = 1, χ²crit = 3,841
5

Karar verin

3,8415%1,17χ²

1,173, 3,841’den küçüktür; yani χ² ret bölgesinde değildir. H₀ reddedilmez.

Cevap

χ² ≈ 1,17 < 3,841: iyileşmenin tedaviye bağlı olduğuna dair anlamlı bir kanıt yok.

6Sık yapılan hatalar

  • Sayılar yerine yüzde veya oranları kullanmak. χ² yalnızca sayılarla çalışır.
  • E yerine O’ya bölmek.
  • Toplam satırını veya sütununu toplama dahil etmek.
  • Yanlış sd kullanmak: tablo için (r − 1)(c − 1) olur, hücre sayısı eksi bir değil.
  • χ² kritik değerden küçükken H₀’ı reddetmek. H₀ aleyhine kanıt yalnızca büyük bir χ²’dir.
Kendini sına Bir bağımsızlık testi 3 satırlı ve 4 sütunlu (toplamlar sayılmaz) bir tablo kullanıyor. Kaç serbestlik derecesi vardır?
  1. 11
  2. 12
  3. 5
  4. 6

Cevap: 6. sd = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11, hücre sayısı eksi birdir; yani uyum iyiliği kuralının yanlışlıkla bir tabloya uygulanmasıdır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: uyum iyiliği. İddia edilen oranlara karşı zar yüzlerinin veya şeker renklerinin sayıları; χ²’yi hesaplayın.
  • Orta: bağımsızlık testi. Beklenen sayıları toplamlardan, sonra süreklilik düzeltmesi olmadan χ²’yi hesaplayın.
  • Zor: kritik değer kararı. sd’yi ve α = 0,05’teki kritik değer χ²krit’i tablodan bulun.

Hızlı bir kontrol: χ² asla negatif olmaz ve yalnızca her gözlenen sayı beklenen sayısına eşitse 0’dır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
yüz123456gözlenen534862505433

Hilesiz olup olmadığını test etmek için bir zar 300 kez atılıyor. Her yüzün frekansı gösterilmiştir. H₀: her yüzün olasılığı 1/6’dır için ki-kare uyum iyiliği istatistiği χ² değerini hesaplayın.

n = 300k = 6

İstenen: χ²

İpuçlarını göster
  1. H₀ altında beklenen frekanslar: her kategori için E = n·p.
  2. E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
  3. Tüm kategoriler üzerinden (O − E)²/E’yi toplayın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

E = 300·p = 50, 50, 50, 50, 50, 50

Ki-kare istatistiği

χ² = (53 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50
χ² = 9,24

Cevap

χ² = 9,24

sd = 5. α = 0,05’te kritik değer 11,070, dolayısıyla H₀ reddedilmez.

Örnek 2Orta
öksürüköksürük yokToplamsigara içenler334780sigara içmeyenler3961100Toplam72108180

Çapraz tablo gözlenen frekansları gösteriyor. Satır ve sütun değişkenleri arasındaki bağımsızlık testi için ki-kare istatistiği χ² değerini hesaplayın. Süreklilik düzeltmesi kullanmayın.

N = 1802 × 2

İstenen: χ²

İpuçlarını göster
  1. Her hücrenin beklenen frekansı: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam.
  2. E = 32, 48 | 40, 60.
  3. 4 hücrenin tamamı üzerinden (O − E)²/E’yi toplayın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Beklenen frekanslar

sigara içenler: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
sigara içmeyenler: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

Ki-kare istatistiği

χ² = (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60
χ² = 0,09375

Cevap

χ² = 0,09375

sd = 1. α = 0,05’te kritik değer 3,841, dolayısıyla H₀ (bağımsızlık) reddedilmez.

Örnek 3Zor

2 satır ve 6 sütunlu (toplamlar sayılmadan) bir çapraz tablo üzerinde ki-kare bağımsızlık testi yapılıyor. Testin serbestlik derecesi df kaçtır?

2 × 6

İstenen: df

İpuçlarını göster
  1. Serbestlik derecesi, toplamlar (ve tahmin edilen parametreler) sabitlendikten sonra kaç hücrenin serbestçe değişebileceğini sayar.
  2. Uyum iyiliği: k − 1, tahmin edilen her parametre için bir eksik.
  3. Bağımsızlık: (r − 1)(c − 1).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Serbestlik derecesi

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Cevap

df = 5

Sorular ve cevaplar

Ki-kare testleri nedir?

Bir ki-kare testi (χ²) sayıları karşılaştırır. Gözlediğiniz sayıların beklenen sayılardan rastlantıdan fazla farklı olup olmadığını sorar.

Örnek: bir zarı 60 kez atıyorsunuz. Zar adilse her yüz yaklaşık 60 · 1/6 = 10 kez gelmelidir. Bunlar beklenen sayılar E’dir.

Ki-kare testleri soruları adım adım nasıl çözülür?

Ki-kare testleri: gözlenen frekansları O, H₀ altında beklenen frekanslar E ile χ² = Σ(O − E)²/E kullanarak karşılaştırın. Uyum iyiliği: her kategori için E = n·p, sd = k − 1 (verilerden tahmin edilen her parametre için bir eksik). r × c tablosunda bağımsızlık: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam, sd = (r − 1)(c − 1). χ² seçilen α için kritik değeri aşarsa H₀’ı reddedin.

Ki-kare testleri konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Her farkın karesini gözlenen frekans O’ya değil, beklenen frekans E’ye bölün.
  • Toplamı n’ye bölmeyin; her farkın karesini toplamadan önce kendi beklenen frekansı E’ye bölün.
  • Beklenen frekanslar toplamın eşit dağıtılmasından değil, marjinal toplamlardan gelir: E = satır toplamı × sütun toplamı / genel toplam.
Ki-kare testleri alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: uyum iyiliği
  • Orta: bağımsızlık testi
  • Zor: kritik değere göre karar

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Hesaplayıcılar

Ki-kare uyum iyiliği hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistikİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistikAP Statistics alıştırma soruları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyon

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Ki-kare testleri çalışma kâğıdı
Ki-kare testleri konusunu ücretsiz çalışınKi-kare testleri konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.