Hipotez testleri ve güven aralıkları: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: hipotez testi · t testi · p değeri

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Hipotez testleri ve güven aralıkları alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: z istatistiği, t istatistiği, güven aralıkları.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Bir tedarikçi bir kablonun ortalama kopma dayanımının 50 kN olduğunu iddia ediyor; daha yüksek olduğundan şüpheleniyorsunuz. Standart sapmanın 8 kN olduğu biliniyor. 25 kabloluk bir örneklem alıp α = 0,05 düzeyinde H₀: μ = 50 kN’a karşı H₁: μ > 50 kN test edeceksiniz. Hangi örneklem ortalamasının x̄c üstünde H₀’ı reddedersiniz?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Sonraki soru →
Hipotez testleri ve güven aralıkları konusunu ücretsiz çalışınHipotez testleri ve güven aralıkları konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayz istatistiği
  2. Ortat istatistiği
  3. Zorgüven aralıkları

Hipotez testleri ve güven aralıkları soruları nasıl çözülür

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Sık yapılan hatalar

  • Çift yönlü bir test için tek yönlü kritik değer kullanmak.
  • H₀ reddedilmediğinde doğru olduğunun kanıtlandığını söylemek.
  • Standart hatada √n’yi unutmak.

Temel formüller

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Hipotez testleri ve güven aralıkları konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Güven aralıkları

1Bir testin fikri

Bir makine şişeleri ortalama 500 mL dolduracak şekilde ayarlıdır. Bir şişe örnekleminin ortalaması 496 mL çıkıyor. Makine mi yanlış, yoksa bu sadece rastlantı mı?

Bir hipotez testi bu soruyu sayılarla cevaplar. İki ifadeyle başlarsınız:

  • Sıfır hipotezi H₀: hiçbir şey değişmedi. Burada H₀: μ = 500.
  • Alternatif hipotez H₁: şüphelendiğiniz şey. Burada H₁: μ ≠ 500 (iki yönlü) veya yalnızca eksik dolum konusunda endişeleniyorsanız μ < 500 (tek yönlü).

H₀’ın doğru olduğunu varsayarsınız ve sorarsınız: bu örneklem ne kadar olağan dışı? Çok olağan dışıysa H₀’ı reddedersiniz.

Kendini sına Bir tedarikçi, dirençlerinin ortalama 220 Ω olduğunu iddia ediyor. Bu iddiayı sınamak istiyorsunuz. H₀ nedir?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Cevap: μ = 220 Ω. H₀, sınanan iddiadır ve anakütle ortalaması μ ile ilgilidir. μ ≠ 220 Ω alternatif H₁’dir ve bir hipotez asla zaten bildiğiniz örneklem ortalaması x̄ ile ilgili olmaz.

2Test istatistiği

Test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀’daki değer olan μ₀’dan standart hata birimiyle ne kadar uzak olduğunu ölçer.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Anakütle standart sapması σ biliniyorsa z kullanın. Yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa t kullanın:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

0’a yakın bir z veya t değeri, örneklemin H₀ ile uyumlu olduğu anlamına gelir. Büyük pozitif veya negatif bir değer örneklemin μ₀’dan uzak olduğunu gösterir.

Kendini sına H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 ve x̄ = 118. z nedir?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Cevap: −1. Standart hata 8/√16 = 2’dir, yani z = (118 − 120)/2 = −1. σ/√n yerine σ = 8’e bölmek −0,25 verir. İşaret negatiftir çünkü x̄, μ₀’ın altındadır.

3Karar: kritik değerler ve p değerleri

Veriye bakmadan önce anlamlılık düzeyi α’yı seçin; genellikle 0,05. Doğru bir H₀’ı reddetme riskinin kabul ettiğiniz kısmıdır.

α = 0,05’te bir z testi için:

  • İki yönlü (H₁: μ ≠ μ₀): |z| > 1,96 ise H₀’ı reddedin.
  • Tek yönlü (H₁: μ > μ₀): z > 1,645 ise H₀’ı reddedin. μ < μ₀ için: z < −1,645 ise reddedin.

p değeri, H₀ doğruysa en az bu kadar uç bir sonucun olasılığıdır. p < α olduğunda H₀’ı reddedin.

H₀’ı reddetmemek onu kanıtlamaz. Yalnızca verinin ona karşı yeterince güçlü kanıt olmadığı anlamına gelir.

Bir test ve bir güven aralığı uyumludur: %5’te iki yönlü bir test, μ₀ %95’lik aralığın x̄ ± 1,96 · σ/√n dışında kaldığında tam olarak H₀’ı reddeder.

Kendini sına α = 0,05’te iki yönlü bir z testi z = 1,8 veriyor. Ne sonuç çıkarırsınız?
  1. H₀ reddedilir
  2. H₀ reddedilmez
  3. H₀’ın doğru olduğu kanıtlanmıştır
  4. H₁ reddedilir ve H₀ kanıtlanmış olarak kabul edilir

Cevap: H₀ reddedilmez. |1,8|, 1,96’dan küçüktür; yani sonuç anlamlı değildir ve H₀ reddedilmez. Bu H₀’ı kanıtlamaz; kanıt sadece yeterince güçlü değildir.

4Adım adım yöntem

  1. H₀ ve H₁’i yazın ve testin tek mi iki yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. z (σ biliniyorsa) veya t (yalnızca s biliniyorsa, sd = n − 1) seçin.
  3. Standart hatayı σ/√n veya s/√n hesaplayın.
  4. Test istatistiğini (x̄ − μ₀) / standart hata hesaplayın.
  5. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  6. Sonucu sözcüklerle, sorunun diliyle ifade edin.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Bir makine şişeleri ortalama 500 mL dolduracak şekilde ayarlıdır. σ = 12 mL. 36 şişelik bir örneklemin ortalaması 496 mL’dir. H₀: μ = 500’ü H₁: μ ≠ 500’e karşı α = 0,05’te sınayın.

1

Hipotezler

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Bu iki yönlüdür, yani kritik değerler ±1,96’dır.

2

Standart hata

σ bilinir, bu yüzden z kullanın.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Test istatistiği

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Karşılaştırın

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2, 1,96’dan büyüktür; yani z gölgeli ret bölgesindedir.

5

Bir aralıkla kontrol edin

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

500 değeri %95’lik aralığın dışındadır, yani aralık aynı kararı verir.

Cevap

z = −2. H₀’ı %5 düzeyinde reddedin: makinenin ortalama dolumu 500 mL’den farklıdır.

6Sık yapılan hatalar

  • İki yönlü bir test için tek yönlü kritik değeri (1,645) kullanmak veya tersi.
  • H₀ reddedilmediğinde doğru olduğunun kanıtlandığını söylemek.
  • Standart hatada √n’yi unutmak.
  • x̄ − μ₀’ı ters yazmak; z’nin işaretini çevirir.
  • Küçük bir örneklemde yalnızca örneklem s’si biliniyorken z kullanmak.
Kendini sına α = 0,05’te H₁: μ > μ₀ olan tek yönlü bir test z = 1,8 veriyor. Ne sonuç çıkarırsınız?
  1. H₀ reddedilir, çünkü 1,8 > 1,645
  2. H₀ reddedilir, çünkü z pozitiftir
  3. H₀ reddedilmez, çünkü 1,8 < 1,96
  4. H₀ reddedilmez, çünkü 1,8 < 2,576

Cevap: H₀ reddedilir, çünkü 1,8 > 1,645. %5’te tek yönlü test, %5’in tamamını tek bir kuyruğa koyar, bu yüzden kritik değer 1,645’tir. 1,96 ile karşılaştırmak yanlışlıkla iki yönlü değeri kullanır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: z istatistiği. σ bilinir; z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) hesaplayın.
  • Orta: t istatistiği. Yalnızca örneklem standart sapması s verilir; t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) hesaplayın.
  • Zor: güven aralıkları. %95 veya %99’da x̄ ± z · σ/√n’in alt veya üst sınırını bulun.

Hızlı bir kontrol: x̄, μ₀’ın altındaysa test istatistiği negatif olmalıdır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
z −1,9601,96

Bir makinenin şişeleri ortalama 100 mL doldurması gerekiyor. Standart sapmanın 4 mL olduğu biliniyor. 81 şişelik bir örneklemin ortalaması 99,6 mL. H₀: μ = 100 için test istatistiği z'ü bulun.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

İstenen: z

İpuçlarını göster
  1. Ortalamanın standart hatası, standart sapmanın √n'ye bölümüdür.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Sonra x̄ − μ₀ farkını standart hataya bölün. İşareti koruyun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Test istatistiği

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Cevap

z = −0,9

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

Örnek 2Orta
t −1,99801,998

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 504,5, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

İstenen: t

İpuçlarını göster
  1. Ortalamanın standart hatası, standart sapmanın √n'ye bölümüdür.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Sonra x̄ − μ₀ farkını standart hataya bölün. İşareti koruyun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Test istatistiği

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Cevap

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

Örnek 3Zor
z −2,57602,576

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 80. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

İstenen: L

İpuçlarını göster
  1. Güven aralığı: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 – güven düzeyi 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Aralık sınırı

L = 80 − 6,44 = 73,56

Cevap

L = 73,56

Sorular ve cevaplar

Hipotez testleri ve güven aralıkları nedir?

Bir makine şişeleri ortalama 500 mL dolduracak şekilde ayarlıdır. Bir şişe örnekleminin ortalaması 496 mL çıkıyor. Makine mi yanlış, yoksa bu sadece rastlantı mı?

Bir hipotez testi bu soruyu sayılarla cevaplar. İki ifadeyle başlarsınız:

Hipotez testleri ve güven aralıkları soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Hipotez testleri ve güven aralıkları konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Çift yönlü bir test için tek yönlü kritik değer kullanmak.
  • H₀ reddedilmediğinde doğru olduğunun kanıtlandığını söylemek.
  • Standart hatada √n’yi unutmak.
Hipotez testleri ve güven aralıkları alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: z istatistiği
  • Orta: t istatistiği
  • Zor: güven aralıkları

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Güven aralıkları

Sonra devam edin

Ki-kare testleri

Hesaplayıcılar

t testi hesaplayıcıp-değeri hesaplayıcıTek yönlü ANOVA hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistikİstatistiğe Girişİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistikKanıta Dayalı UygulamaAP Statistics alıştırma sorularıCFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Hipotez testleri ve güven aralıkları çalışma kâğıdı
Hipotez testleri ve güven aralıkları konusunu ücretsiz çalışınHipotez testleri ve güven aralıkları konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.