Diferansiyel denklemler: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: adi diferansiyel denklemler

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Diferansiyel denklemler alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: üstel büyüme ve azalma, Newton’un soğuma yasası, birinci mertebe lineer.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
ty1

Bir kütle–yay–sönümleyici y″ + 4,8y′ + 4y = 0 ile tanımlanıyor. Bunu y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ile karşılaştırın ve sönüm oranını ζ bulun.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
Sonraki soru →
Diferansiyel denklemler konusunu ücretsiz çalışınDiferansiyel denklemler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayüstel büyüme ve azalma
  2. OrtaNewton’un soğuma yasası
  3. Zorbirinci mertebe lineer

Temel formüller

Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Diferansiyel denklemler konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Türevler, İntegraller

1Diferansiyel denklem nedir

Diferansiyel denklem, bir büyüklüğü kendi değişim hızıyla ilişkilendirir. Bir şeyin ne olduğunu değil, nasıl değiştiğini anlatır.

Bakteriler bölünür, bu yüzden daha büyük bir koloni daha hızlı büyür. Büyüme hızı hücre sayısı N ile orantılıdır:

dN/dt = k · N

Burada dN/dt, N’nin t zamanına göre türevidir ve k hız sabitidir. k = 0,4 h⁻¹ ve N = 1000 hücre ile koloni o anda saatte 400 hücre büyür.

Denklemi çözmek N(t) fonksiyonunun kendisini bulmak demektir. Ayrıca N(0) = 200 gibi bir başlangıç değerine ihtiyacınız var. Buna başlangıç koşulu denir.

Kendini sına Bir nüfus dN/dt = 0,2 · N denklemini izliyor. Şu anda N = 500. Ne kadar hızlı büyüyor?
  1. Saatte 0,2
  2. Saatte 100
  3. Saatte 2500
  4. Saatte 500

Cevap: Saatte 100. Sayıları denklemde yerine koyun: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. 500’ü 0,2’ye bölmek 2500 verir; k’yı ters kullanır.

2Üstel büyüme ve bozunma

dy/dt = k·y denkleminin çözümü her zaman aynıdır, bir üstel fonksiyon:

y(t) = y0 · ekt

Burada y0, t = 0’daki değerdir. Pozitif k büyüme demektir. Bozunma için denklem dy/dt = −k·y ve çözüm y = y0e−kt’dir.

Radyoaktif bozunma çoğu zaman yarı ömrü t½ ile verilir: maddenin yarısının kaldığı süre. Hız sabiti ondan çıkar:

k = ln 2 / t½

Bir zamanı bulmak için iki tarafın doğal logaritmasını alın:

t = ln(y / y0) / k

Örneğin k = 0,4 h⁻¹ ile büyüyen 200 hücre, t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h sonra 1000 hücreye ulaşır.

Kendini sına Bir maddenin yarı ömrü 10 gündür. 80 mg ile başlıyorsunuz. 20 gün sonra ne kadar kalır?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Cevap: 20 mg. 20 gün iki yarı ömürdür: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg, iki yarının bütünü oluşturduğunu düşünmekten gelir; miktar her seferinde yarılanır.

3Soğuma ve doğrusal denklemler

Newton’un soğuma yasası: sıcak bir cisim, odadan çok daha sıcakken daha hızlı soğur. Oda sıcaklığı Ta ile:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

T − Ta farkı üstel olarak azalır, bu yüzden sıcaklık oda sıcaklığına doğru gider ve hiçbir zaman altına düşmez.

Tek bir ölçümden k’yı bulmak için bilinen değerleri koyun ve ln alın: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Birinci mertebeden doğrusal denklem y′ + p(x)·y = q(x) biçimindedir. Onu integral çarpanı μ ile çarpın:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Sonra iki tarafı integre edin ve μ’ye bölün. p = 2/x için μ = e2 ln x = x².

Kendini sına 90 °C’lik çay 20 °C’lik bir odada bırakılıyor. Çok uzun bir süre sonra hangi sıcaklığa yaklaşır?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Cevap: 20 °C. (T0 − Ta)e−kt terimi 0’a gider, bu yüzden T, Ta = 20 °C’ye yaklaşır. Oda sıcaklığını unutursanız cevap 0 °C olurdu.

4Adım adım yöntem

  1. Türü tanıyın: dy/dt = ky (büyüme ya da bozunma), Newton soğuması ya da y′ + p(x)y = q(x).
  2. O tür için standart çözümü yazın.
  3. Sabitleri bulmak için verilen verileri kullanın: başlangıçtan y0, yarı ömürden ya da ikinci bir ölçümden k.
  4. Soruyu yanıtlayın: bir değer bulmak için zamanı koyun ya da bir zamanı bulmak için ln kullanın.
  5. k’nın birimlerini (h⁻¹, min⁻¹) t’nin birimleriyle kontrol edin.

Doğrusal denklem için: μ’yü bulun, (μy)′ = μq’yu integre edin, C sabitini ekleyin, sonra C’yi bulmak için başlangıç koşulunu kullanın.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Radyoaktif bir izleyicinin yarı ömrü 8 gündür. Bir örnek başlangıçta 60 mg içerir. Bozunma dm/dt = −k·m izler. 12 gün sonra ne kadar m kalır?

1

Türü tanıyın

Bu üstel bozunmadır, yani çözüm:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Yarı ömürden k’yı bulun

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 gün⁻¹
3

Zamanı koyun

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Cevabı kontrol edin

12 gün 1,5 yarı ömürdür. 8 gün sonra 30 mg, 16 gün sonra 15 mg kalır; yani 21,2 mg ikisinin arasındadır, beklendiği gibi.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Cevap

12 gün sonra m ≈ 21,2 mg kalır.

6Sık yapılan hatalar

  • Newton’un soğuma yasasında oda sıcaklığı Ta’yı çıkarmayı ve geri eklemeyi unutmak.
  • Bozunma için pozitif üs kullanmak, böylece miktar küçülmek yerine büyür.
  • Doğal logaritma ln yerine log10 kullanmak.
  • Zaman birimlerini karıştırmak, örneğin k min⁻¹ iken t’yi saat almak.
  • İntegral çarpanında yalnızca sol yanı μ ile çarpmak.
Kendini sına 80 °C’lik bir parça 20 °C’lik bir odada soğuyor. Bir t anında e−kt = 0,5’tir. O zaman sıcaklığı nedir?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Cevap: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. 80’i doğrudan yarılamak 40 °C verir; oda sıcaklığını unutur.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: üstel büyüme ve bozunma. Çoğu zaman bir yarı ömürden, bir süre sonraki miktarı ya da bir miktara ulaşma süresini bulun.
  • Orta: Newton’un soğuma yasası. k’yı bulmak için tek bir ölçüm kullanın, sonra bir sıcaklık ya da zaman bulun.
  • Zor: y(1) = 1 ile y′ + 2y/x = 3 gibi birinci mertebeden doğrusal denklem. İntegral çarpanını kullanın ve başka bir x’te y’yi bulun.

Hızlı kontrol: bozunma ve soğuma cevapları başlangıç değeri ile son değer (0 ya da oda sıcaklığı) arasında olmalıdır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
rr² + br + c?

y″ + 4y′ + 3y = 0 denklemi için karakteristik denklemin sıfıra en yakın kökünü r bulun. Çözümün ne kadar yavaş söneceğini bu belirler.

y″ + 4y′ + 3y = 0

İstenen: r

İpuçlarını göster
  1. y = ert yerine koyun.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Çarpanlara ayırın ya da ikinci derece denklem formülünü kullanın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik denklem

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Kökler

r = −1, r = −3
sıfıra en yakın: r = −1

Cevap

r = −1

Genel çözüm y = A·e−1t + B·e−3t’dir.

Örnek 2Orta
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

81 °C’deki bir fincan kahve 21 °C’deki bir odada bırakılıyor. 5 dakika sonra sıcaklığı 73 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 50 °C’ye ulaşır?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

İstenen: t (min)

İpuçlarını göster
  1. Önce k’yı t = 5 min’deki ölçümden bulun.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Cevap

t = 25,4 min
Örnek 3Zor
ty1y(1) = ?

y(0) = 4 koşuluyla y′ + y = 4e−2t denklemini çözün. y(1) değerini bulun.

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

İstenen: y(1)

İpuçlarını göster
  1. İntegrasyon çarpanı μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. C’yi bulmak için y(0)’ı kullanın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

İntegrasyon çarpanı

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Genel çözüm

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Başlangıç koşulu

4 = −4 + C → C = 8

Hesaplayın

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Cevap

y(1) = 2,402

Sorular ve cevaplar

Diferansiyel denklemler nedir?

Bakteriler bölünür, bu yüzden daha büyük bir koloni daha hızlı büyür. Büyüme hızı hücre sayısı N ile orantılıdır:

Burada dN/dt, N’nin t zamanına göre türevidir ve k hız sabitidir. k = 0,4 h⁻¹ ve N = 1000 hücre ile koloni o anda saatte 400 hücre büyür.

Diferansiyel denklemler soruları adım adım nasıl çözülür?

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Diferansiyel denklemler konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Bu, sıfırdan daha uzaktaki diğer köktür; terimi daha hızlı söner.
  • b ve c pozitifken r² + br + c = 0 denkleminin kökleri negatiftir.
  • −b/2 köklerin orta noktasıdır, bir kök değil.
Diferansiyel denklemler alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: üstel büyüme ve azalma
  • Orta: Newton’un soğuma yasası
  • Zor: birinci mertebe lineer

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Türevlerİntegraller

Sonra devam edin

Laplace dönüşümleriSayısal yöntemler

Hesaplayıcılar

Yarı ömür ve üstel bozunma hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Mühendislik MatematiğiDiferansiyel DenklemlerMühendislik Matematiği 2Analiz 2Sayısal YöntemlerAP Calculus alıştırma soruları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Diferansiyel denklemler çalışma kâğıdı
Diferansiyel denklemler konusunu ücretsiz çalışınDiferansiyel denklemler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.