Laplace dönüşümleri: adım adım çözümlü alıştırma soruları
Diğer adları: Laplace dönüşümü · transfer fonksiyonu
Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Laplace dönüşümleri alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: dönüşüm çiftleri ve değer teoremleri, kısmi kesirlerle ters dönüşüm, Diferansiyel denklemler ve transfer fonksiyonları.
Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
Bir f(t) sinyalinin Laplace dönüşümü F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10))’dır. f(t)’nin yerleştiği f(∞) değerini bulmak için son değer teoremini kullanın.
Devreler, motorlar ve tanklar diferansiyel denklemlerle tanımlanır: çıkış kendi değişim hızına bağlıdır. Bunları doğrudan çözmek yavaştır.
Laplace dönüşümü böyle bir problemi cebire çevirir. Zamanın her f(t) fonksiyonunu yeni bir s değişkeninin F(s) fonksiyonuyla değiştirirsiniz.
Problemi s’de sıradan cebirle çözer, sonra sonucu zamana geri çevirirsiniz. Bu son adım ters dönüşümdür.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Bu integrali kendiniz nadiren kullanırsınız. Uygulamada, iki dil arasındaki bir sözlükteki sözcükler gibi, bir tabloda dönüşüm çiftlerine bakarsınız.
Şekil üç yaygın sinyali gösterir: sabit bir 1 (bir basamak), sönen bir üstel ve bir sinüs. Her birinin altında dönüşümü vardır.
Kendini sına Sabit sinyal f(t) = 5’in Laplace dönüşümü nedir?
1/(5s)
5/s
5
5s
Cevap: 5/s. Sabit bir çarpan önde kalır ve ℒ{1} = 1/s. Yani ℒ{5} = 5/s. 5 demek, bir sabitin dönüşümünün her zaman 1/s çarpanını taşıdığını unutur.
2Dönüşüm çiftleri tablosu
Bu beş çifti öğrenin. İki kuralla birlikte neredeyse her sınav problemini kapsarlar.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Doğrusallık: sabitler önde kalır ve bir toplam terim terim dönüştürülür. Yani 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Kaydırma: s’yi s + a ile değiştirmek zaman fonksiyonunu e−at ile çarpar. Yani (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Sinüs çiftine dikkat edin: pay ω’nın kendisi olmalıdır. 12/(s² + 9) için ω = 3, yani 12 = 4·3 yazın. Sonuç 4·sin 3t’dir.
sin ωt ve cos ωt’de ωt açısı radyandır. Değerlendirmeden önce hesap makinenizi radyana ayarlayın.
Çözümlü örnek
F(s) = 6/(s + 3) + 2/s için f(t)’yi bulun ve f(0,5)’i hesaplayın.
1
Her terimi bir çiftle eşleştirin
6/(s + 3), a = 3 ile 1/(s + a) biçimindedir, 6 ile çarpılmıştır. 2/s terimi 2 sabitidir.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
f(t)’yi yazın
İki parçayı toplayın (doğrusallık):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
t = 0,5’te hesaplayın
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Cevap
f(t) = 6·e−3t + 2, yani f(0,5) ≈ 3,34.
Kendini sına 8/(s² + 16)’nın ters dönüşümü nedir?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Cevap: 2·sin 4t. ω² = 16, yani ω = 4. Çift payda 4 ister: 8 = 2·4, bu da 2·sin 4t verir. 8·sin 4t ω’ya bölmeyi unutur. Kosinüs, payda s olan çifte aittir.
3Ters çevirmeden başlangıç ve son değerler
Bazen yalnızca f(t)’nin nereden başladığını veya nerede bittiğini bilmeniz gerekir. İki teorem bunları doğrudan F(s)’den verir.
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Başlangıç değeri (s → ∞): çok büyük s için yalnızca paydaki ve paydadaki en yüksek s kuvveti sayılır.
Son değer (s → 0): s çarpanını sadeleştirin, sonra kalan her çarpanda, sıfırlar dahil, s = 0 koyun.
Son değer teoremi yalnızca f(t) gerçekten oturuyorsa çalışır: s·F(s)’in tüm kutuplarının reel kısmı negatif olmalıdır.
Son değer: F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) için s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)) olur. s = 0’da bu 12/6 = 2’dir, yani f(∞) = 2.
Başlangıç değeri: F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) için s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6) olur. Büyük s için bu 3s²/s² gibi davranır, yani f(0⁺) = 3.
Başlangıç eğimi f′(0⁺) için türevin dönüşümünü kullanın, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Sonra buna başlangıç değeri teoremini uygulayın:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Aynı F(s) için: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). s ile çarpın ve s → ∞ olsun. En yüksek kuvvetler −5s²/s² verir, yani f′(0⁺) = −5.
Kendini sına F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). f(t) hangi değere oturur?
0,5
0
1
20
Cevap: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), s = 0’da 20/20 = 1’dir. (s + 2) sıfır çarpanını atmak 0,5 verir. 0 değeri s → ∞ limitidir, yani başlangıç değeridir.
4Kısmi kesirler, adım adım
Çoğu F(s) tabloda olduğu gibi yoktur. Onları tabloda olan basit kesirlere ayırırsınız. Buna kısmi kesirler denir.
Paydanın her kökü bir kutuptur. s = −a’daki basit bir kutup bir A/(s + a) terimi verir; bu zamanda A·e−at olur.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Kapatma kuralı her katsayıyı bulur. A’yı bulmak için F(s)’deki (s + a) çarpanını kapatın ve kalan her şeyde s = −a koyun.
Örnek: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). O zaman A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 ve B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Yani f(t) = 2e−t − e−4t.
Bir kutbun konumu size biçimi söyler. −3’teki gerçel bir kutup saf bir sönüm e−3t verir. Karmaşık bir çift −1 ± j2, sönen bir salınım verir; e−t çarpı sin 2t veya cos 2t.
Tekrarlı kutup (s + a)²: A/(s + a) + B/(s + a)² yazın. İkinci terim B·t·e−at verir. Yani (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Karmaşık kutuplar: tam kareye tamamlayın, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². O zaman 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t.
Paydayı çarpanlarına ayırın ve kutupları listeleyin. Bir ikinci derece için köklerini bulun veya tam kareye tamamlayın.
Her kutup için bir kesir yazın: A/s, B/(s + a) ve benzeri. Tekrarlı bir kutuba bir de kareli terim eklenir.
Her katsayıyı kapatma kuralıyla bulun. Kalan çarpanların işaretlerini koruyun.
Her terimi tabloyla zamana geri çevirin.
t zamanını yerine koyun (sinüs ve kosinüs için radyan). f(0⁺) ve f(∞)’yi değer teoremleriyle kontrol edin.
Kendini sına F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3). A nedir?
2
4
−1
−2
Cevap: 2. (s + 1)’i kapatın ve geri kalanda s = −1 koyun: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Değer −1, yani B’dir. 4, kalan çarpana bölmeyi unutur; −2 ise kalan çarpanın işaretini ters çevirir: 4/2 yerine 4/(−2).
5Çözümlü bir örnek
Bu tipik bir orta zorlukta sorudur. Her adımı açmadan önce kendiniz deneyin.
Çözümlü örnek
F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) için f(t)’yi kısmi kesirlerle bulun ve f(0,5)’i hesaplayın.
1
Kesirleri kurun
Payda zaten çarpanlarına ayrılmıştır. Kutuplar s = 0, s = −2 ve s = −3’tür, hepsi basit.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
A için kapatma
s çarpanını kapatın ve kalanda s = 0 koyun:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
B ve C için kapatma
(s + 2)’yi kapatın ve s = −2 koyun. Sonra (s + 3)’ü kapatın ve s = −3 koyun. Her işareti koruyun.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Zamana geri dönüş
Her terim bir tablo çiftidir: 2/s ↔ 2 ve B/(s + a) ↔ B·e−at.
sin ωt veya cos ωt’yi hesap makinesi derecedeyken hesaplamak. ωt açısı radyandır.
f(t) hiç oturmuyorsa son değer teoremini kullanmak; örneğin saf bir sinüs olan F(s) = 1/(s² + 4).
Kendini sına F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Kapatma kuralıyla e−3t’nin B katsayısı nedir?
3
6
−2
−3
Cevap: −3. (s + 3)’ü kapatın ve kalanda s = −3 koyun: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Pozitif 3 bir işaret hatasıdır (e−t’nin A katsayısıdır). −2, kalan çarpan yerine kutup değerine böler.
7Sınav soruları nasıl görünür
Kolay: tablo çiftleri ve değer teoremleri. Bir sabiti, bir üsteli, t·e−at’yi, bir sinüsü veya bir kosinüsü ters çevirip değerlendirirsiniz ya da f(0⁺), f(∞) veya başlangıç eğimi f′(0⁺)’yı bulursunuz.
Orta: kısmi kesirlerle ters dönüşümler. Bir A katsayısını bulursunuz, üç basit kutbu s(s + a)(s + b), bir tekrarlı kutbu veya tam kareye tamamlayarak karmaşık kutupları ters çevirirsiniz.
Zor: diferansiyel denklemler ve transfer fonksiyonları; örneğin verilen başlangıç değerleriyle y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t). Verilen bir zamanda y’yi bulursunuz.
Zor seviye için her türevi başlangıç koşullarıyla birlikte dönüştürün:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Sonra Y(s) için cebirsel denklemi çözün ve çözülmüş örnekteki gibi kısmi kesirlerle ters çevirin.
Bir f(t) sinyalinin Laplace dönüşümü F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))’dır. f(t)’nin yerleştiği f(∞) değerini bulmak için son değer teoremini kullanın.
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
İstenen: f(∞)
İpuçlarını göster
Son değer teoremi: s → 0 için f(∞) = lim s·F(s).
Önce s·F(s)’in tüm kutuplarının sol yarı düzlemde olduğunu kontrol edin; böylece f(t) gerçekten bir değere yerleşir.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Laplace dönüşümü: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt türevleri s ile çarpmaya çevirir: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standart çiftler: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²); s → s + σ kayması zaman fonksiyonunu e−σt ile çarpar. Rasyonel bir F(s)’in ters dönüşümünü almak için onu kısmi kesirlere ayırın: basit bir p kutbunun kalıntısı A = [(s − p)·F(s)] değerinin s = p’deki değeridir. Son değer teoremi: f(∞) = lims→0 s·F(s); yalnızca s·F(s)’in tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Başlangıç değeri teoremi: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Teoremin uygulanabildiğini kontrol edin
Teorem yalnızca f(t) bir değere yerleşiyorsa geçerlidir; sanal eksendeki veya sağ yarı düzlemdeki bir kutup yanlış sonuç verir.
s·F(s)’in kutupları: s² + 2s + 23 = 0, hepsi sol yarı düzlemde.
Kapatma kuralı: A = [(s + 6)·F(s)] değerinin s = −6’deki değeri.
s = −6’da: pay 16, diğer çarpan 2.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Laplace dönüşümü: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt türevleri s ile çarpmaya çevirir: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standart çiftler: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²); s → s + σ kayması zaman fonksiyonunu e−σt ile çarpar. Rasyonel bir F(s)’in ters dönüşümünü almak için onu kısmi kesirlere ayırın: basit bir p kutbunun kalıntısı A = [(s − p)·F(s)] değerinin s = p’deki değeridir. Son değer teoremi: f(∞) = lims→0 s·F(s); yalnızca s·F(s)’in tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Başlangıç değeri teoremi: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Paydayı çarpanlarına ayırın
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Kapatma kuralı
(s + 6) ile çarpın ve s = −6 koyun: B terimi yok olur.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Cevap
A = 8
(B = −7, dolayısıyla f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Örnek 3Zor
Bir sistem y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t) denklemine uyuyor; y(0) = 5 ve y′(0) = 0’dır. t = 0 anında u(t) = 5 basamak girişi uygulanır. y(0,6) değerini Laplace dönüşümüyle bulun.
s ile çarpın: Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5)).
A = 15, B = −16,67, C = 6,667.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Laplace dönüşümü: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt türevleri s ile çarpmaya çevirir: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standart çiftler: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²); s → s + σ kayması zaman fonksiyonunu e−σt ile çarpar. Rasyonel bir F(s)’in ters dönüşümünü almak için onu kısmi kesirlere ayırın: basit bir p kutbunun kalıntısı A = [(s − p)·F(s)] değerinin s = p’deki değeridir. Son değer teoremi: f(∞) = lims→0 s·F(s); yalnızca s·F(s)’in tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Başlangıç değeri teoremi: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Denklemi dönüştürün
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Kısmi kesirler
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Sonuç
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Cevap
y(0,6) = 10,31
Kontrol: y(0) = A + B + C = 5.
Sorular ve cevaplar
Laplace dönüşümleri nedir?
Devreler, motorlar ve tanklar diferansiyel denklemlerle tanımlanır: çıkış kendi değişim hızına bağlıdır. Bunları doğrudan çözmek yavaştır.
Problemi s’de sıradan cebirle çözer, sonra sonucu zamana geri çevirirsiniz. Bu son adım ters dönüşümdür.
Laplace dönüşümleri soruları adım adım nasıl çözülür?
Laplace dönüşümü: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt türevleri s ile çarpmaya çevirir: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Standart çiftler: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²); s → s + σ kayması zaman fonksiyonunu e−σt ile çarpar. Rasyonel bir F(s)’in ters dönüşümünü almak için onu kısmi kesirlere ayırın: basit bir p kutbunun kalıntısı A = [(s − p)·F(s)] değerinin s = p’deki değeridir. Son değer teoremi: f(∞) = lims→0 s·F(s); yalnızca s·F(s)’in tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Başlangıç değeri teoremi: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Laplace dönüşümleri konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
s = 0’da s² + 2s + 23 çarpanı sabit terimine, yani 23’ye eşittir.
s → 0 limitini alın, s = 1 değil.
Bu B’dir, e−8t’nin katsayısı. A, s = −6 kutbuna aittir.
Laplace dönüşümleri alıştırmaları neleri kapsar?
Kolay: dönüşüm çiftleri ve değer teoremleri
Orta: kısmi kesirlerle ters dönüşüm
Zor: Diferansiyel denklemler ve transfer fonksiyonları
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
Çalışma nasıl işler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.