Basamak yanıtı: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Basamak yanıtı nedir

Bir basamak, t = 0’da 0’dan sabit bir değere sıçrayan ve sonra orada kalan bir girdidir. Bir ısıtıcıyı açmayı veya gaza basıp tutmayı düşünün.

Basamak yanıtı çıkışın nasıl izlediğidir. Bir anda sıçrayamaz: yeni bir son değer y(∞)’a doğru ilerler ve orada oturur.

a eğrisi düzgünce yükselir ve asla aşmaz. Bu, bir RC devresi veya ısıtılan bir tank gibi birinci dereceden bir sistemdir.

b eğrisi aşar, birkaç kez salınır ve sonra oturur. Bu, bir araç süspansiyonu veya yaydaki bir kütle gibi az sönümlü ikinci dereceden bir sistemdir.

Son değer DC kazancı G(0)’dan gelir: U büyüklüğündeki bir basamak y(∞) = G(0)·U değerinde oturur. Bu, Laplace dönüşümlerindeki son değer teoremidir.

2Birinci dereceden sistemler

Birinci dereceden bir sistemin standart biçimi aşağıdadır. K statik kazançtır ve τ saniye cinsinden zaman sabitidir.

G(s) b/(s + a) olarak yazılmışsa payı ve paydayı a’ya bölün. O zaman K = b/a ve τ = 1/a.

• 1τ sonra çıkış değişiminin %63’ünü, 3τ sonra %95’ini, 5τ sonra %99’dan fazlasını yapmıştır.
• Son değerin x kesrine ulaşma süresi: t = −τ·ln(1 − x). %90 için t = τ·ln 10 = 2,3τ.
• %10–90 yükselme süresi t_r = τ·ln 9 ≈ 2,2τ’dur.
• Bir RC devresi için τ = R·C. kΩ çarpı µF’ın milisaniye verdiğine dikkat edin.

Yanıtı ölçerseniz τ’yu geriye doğru bulabilirsiniz. Çıkış t anında x kesrine ulaştıysa τ = −t/ln(1 − x).

3İkinci dereceden sistemler

İkinci dereceden bir sistemin paydası ikinci derecedendir. Standart biçimle karşılaştırın:

• Sabit terim ω_n²’dir, yani doğal frekans ω_n = √(sabit terim), rad/s cinsinden.
• s’nin katsayısı 2ζω_n’dir, yani sönüm oranı ζ = (s’nin katsayısı)/(2ω_n).
• 0 < ζ < 1 için yanıt aşar ve salınır. Daha küçük ζ daha fazla aşma demektir.

Birim basamak için son değer G(0) = K/ω_n²’dir. Beş sayı yanıtın biçimini tanımlar:

• ω_d sönümlü frekanstır: yanıtın ne kadar hızlı salındığı.
• t_p tepe zamanıdır, çıkışın en yüksek olduğu an. %OS, son değerin üstündeki yüzde aşmadır.
• t_s oturma süresidir, sonrasında çıkış son değerin %2’si içinde kalır.

İki kutup s = σ ± jω_d’dir; reel kısım σ = −ζω_n. Orijine uzaklıkları ω_n’dir ve cos θ = ζ.

4Adım adım yöntem

1. Derecesine karar verin: derecesi 1 olan bir payda birinci derece, derecesi 2 olan ikinci derecedir.
2. Birinci derece: G(s)’yi K/(τs + 1) olarak yazın ve K ile τ’yu okuyun.
3. İkinci derece: paydayı s² + 2ζω_ns + ω_n² ile karşılaştırın. Önce ω_n’yi, sonra ζ’yı bulun.
4. Son değeri bulun: y(∞) = G(0)·U.
5. Sorulan için formülü uygulayın: y(t), bir zaman, t_p, %OS, t_s veya σ.
6. Birimleri kontrol edin: zamanlar saniye, ω rad/s ve e^… ile π formüllerindeki açı radyan.

5Çözümlü bir örnek

Bu tipik bir orta zorlukta sorudur. Her adımı açmadan önce deneyin.

6Sık yapılan hatalar

• Yükselmeyi doğrusal saymak. Bir üstel %90’a 0,9τ değil 2,3τ sonra ulaşır: t = −τ·ln(1 − x) kullanın.
• ln(1 − x) yerine ln(x) kullanmak. Logaritma hâlâ eksik olan kısmı alır.
• b/(s + a)’dan τ = a okumak. Zaman sabiti 1/a’dır.
• ω_n² değerini ω_n olarak kullanmak. Sabit terimin karekökünü alın.
• 2ζω_n’deki 2’yi unutmak veya t_p = π/ω_d’de ω_d yerine ω_n kullanmak.
• Soru yüzde (%16,3) isterken aşmayı kesir (0,163) olarak vermek.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: birinci dereceden sistemler. y(∞)’u, verilen bir zamandaki çıkışı, bir yüzdeye ulaşma süresini, ölçülen bir noktadan τ’yu veya bir RC devresinin dolma süresini bulursunuz.
• Orta: ikinci derece parametreleri. G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) fonksiyonundan ζ, ω_n, %OS, t_p, t_s veya kutupların reel kısmı σ’yı bulursunuz.
• Zor: fiziksel sistemler ve tasarım. Bir kütle–yay–sönümleyici veya RLC devresi ya da ölçülen bir aşma ve tepe zamanından geriye doğru çalışılan ζ ve ω_n.

Bir m kütlesi, c sönümleyicisi ve k yayı için m·x″ + c·x′ + k·x = F denklemi şunu verir:

Bir aşmadan geriye doğru çalışmak için %OS formülünü ζ için çözün: