Evrişim ve LTI sistemler: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Evrişim ve LTI sistemler alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: ayrık evrişim, sürekli evrişim, darbe yanıtı ve Fourier serisi.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

x[n] = {−3, 2, 4, 3} ve h[n] = {1, 1, 1} dizilerinin ikisi de n = 0’dan başlar. y[n] = x[n] ∗ h[n] evrişiminin örneğini (y[1]) bulun.

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
Sonraki soru →
Evrişim ve LTI sistemler konusunu ücretsiz çalışınEvrişim ve LTI sistemler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayayrık evrişim
  2. Ortasürekli evrişim
  3. Zordarbe yanıtı ve Fourier serisi

Evrişim ve LTI sistemler soruları nasıl çözülür

  1. İki işareti de çizin ve her birinin sıfırdan farklı olduğu yeri not edin.
  2. h’yi çevirip kaydırın: her çıkış zamanı için iki işaretin çakıştığı aralığı bulun.
  3. Yalnızca o çakışma üzerinde çarpıp toplayın (ayrık) veya çarpıp integre edin (sürekli).
  4. Sonucu kontrol edin: çıkış, başlangıç zamanlarının toplamında başlar, bitiş zamanlarının toplamında biter; alanı veya toplamı da girişlerin alanlarının veya toplamlarının çarpımıdır.

Sık yapılan hatalar

  • İki işareti evirmek yerine örnek örnek çarpmak.
  • h’yi çevirmeden kaydırmak; bu, evrişimi değil korelasyonu verir.
  • Darbe yanıtı istenen yerde basamak yanıtı formülünü kullanmak veya tersini yapmak.
  • Harmonik numarasını yanlış saymak: k/T’deki bileşen k. harmoniktir.

Temel formüller

Ayrık evrişim
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Sürekli evrişim
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Uzunluk ve toplam
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Başlangıç, bitiş ve alan
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
e^(−at)u(t)’ye basamak girişi
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Birinci dereceden sistem
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Birinci dereceden özyineleme
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
h(t)’den geçen sinüs
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Fourier serisi genlikleri
kare ±A: 4A/(kπ), k tek; üçgen ±A: 8A/(π²k²), k tek; darbe katarı: A·D ve (2A/(kπ))|sin kπD|

Evrişim ve LTI sistemler konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: İntegraller

1Evrişim ne yapar

Doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) bir sistem, darbe yanıtı h ile tamamen tanımlanır: girişi tek bir kısa vuruş olduğunda verdiği çıkış.

Herhangi bir giriş, ölçeklenmiş ve kaydırılmış bir vuruşlar dizisi olarak görülebilir. Her vuruş, h’nin ölçeklenmiş ve kaydırılmış bir kopyasını üretir ve çıkış, tüm kopyaların toplamıdır. Bu toplam evrişimdir: y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

Evrişim, bir sistemin belleği olduğu her yerde ortaya çıkar: filtreler, sensörler, yapılar, devreler ve bir işaretin zaman içinde yayılması.

Kendini sına Bir sistemin h[n] = {1, 3} (n = 0, 1) darbe yanıtı vardır. Giriş tek bir örnektir: x[0] = 2. Çıkış nedir?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Cevap: y[n] = {2, 6}. Yüksekliği 2 olan tek bir vuruş, h’nin 2 ile ölçeklenmiş tek bir kopyasını verir: {2·1, 2·3} = {2, 6}. Evrişim h’nin şeklini korur; örnekleri birbirine eklemez.

2Ayrık evrişim adım adım

Diziler için evrişim bir toplamdır:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. h’yi çevirin: h[−k], h’nin k = 0 etrafındaki aynasıdır.
  2. Çevrilmiş h’yi n kadar kaydırın.
  3. Onu x ile örnek örnek çarpın ve çarpımları toplayın. Bu, y[n]’yi verir.
  4. Her n için tekrarlayın. x’in Lx örneği, h’nin Lh örneği varsa y’nin Lx + Lh − 1 örneği vardır ve iki başlangıç indisinin toplamından başlar.

Hızlı bir kontrol: y’nin tüm örneklerinin toplamı (Σx)·(Σh)’ye eşittir.

Kendini sına İkisi de n = 0’dan başlayan x[n] = {1, 2} ve h[n] = {3, 1} için y[1] nedir?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Cevap: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Yalnızca x[1]·h[1] çarpılırsa 2 çıkar; 6 ise iki çarpımdan yalnızca birini alır.

3Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

İkisi de n = 0’dan başlayan x[n] = {2, 1, −1} ile h[n] = {1, 3} dizilerinin evrişimini bulun.

1

Dizilere bakın

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x’in 3, h’nin 2 örneği vardır; dolayısıyla y’nin 3 + 2 − 1 = 4 örneği vardır, n = 0’dan n = 3’e kadar.

2

y[0]

Yalnızca x[0] ve h[0] çakışır.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] ve y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Cevabı kontrol edin

Σx = 2 ve Σh = 4; dolayısıyla Σy 8 olmalıdır. Gerçekten de 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Cevap

n = 0 … 3 için y[n] = {2, 7, 2, −3}.

4Sürekli evrişim

Sürekli zamanlı işaretlerde toplam bir integrale dönüşür:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

Yöntem aynıdır: h’yi çevirin, t konumuna kaydırın ve her iki işaretin de sıfırdan farklı olduğu kısım üzerinde çarpımı integre edin.

x(t)t12h(t)t1

0 ≤ t < 1 s için x(t) = 2 ve h(t) = e−tu(t) ise, darbe açıkken çıkış y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t)’dir. t = 1 s’de 2(1 − e−1) = 1,26 değerine ulaşır ve sonrasında 1,26·e−(t − 1) olarak sönümlenir.

  • y, iki başlangıç zamanının toplamında başlar ve iki bitiş zamanının toplamında biter.
  • y’nin altındaki alan, x’in altındaki alan çarpı h’nin altındaki alandır.
  • İki dikdörtgen darbe bir yamuk verir; iki eşit darbe bir üçgen verir.
Kendini sına x(t), 0’dan 2 s’ye kadar; h(t) ise 1 s’den 4 s’ye kadar sıfırdan farklıdır. y(t) = x(t) ∗ h(t) ne zaman biter?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Cevap: 6 s. y, bitiş zamanlarının toplamında biter: 2 + 4 = 6 s. 0 + 1 = 1 s’de başlar; yani 5 s sürer; 5 s süredir, bitiş değil.

5Darbe yanıtları ve Fourier serisi

Birinci dereceden bir y′ + a·y = b·x sisteminin darbe yanıtı h(t) = b·e−atu(t)’dir. Ayrık karşılığı y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n], n ≥ 0 için h[n] = b·aⁿ’dir.

Bir sinüs, frekansı değişmeden bir LTI sistemden geçer. |H(jω)| ile ölçeklenir ve ∠H(jω) kadar kayar; burada H, h’nin Fourier dönüşümüdür. h(t) = b·e−atu(t) için H(jω) = b/(a + jω).

T periyotlu periyodik bir işaret, k/T frekanslarındaki harmoniklerin toplamıdır. Bazı standart genlikler:

  • −A ile +A arasındaki kare dalga: yalnızca tek k, genlik 4A/(kπ).
  • −A ile +A arasındaki üçgen dalga: yalnızca tek k, genlik 8A/(π²k²).
  • A yüksekliğinde ve D görev oranında darbe katarı: ortalama A·D, harmonikler (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Kendini sına Bir kare dalga −2 ile +2 arasında anahtarlanıyor. Üçüncü harmoniğinin genliği nedir?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Cevap: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 temel bileşendir, 0,283 bir üçgendeki gibi k²’ye böler ve 0,424, 0’dan A’ya giden bir dalganın formülü olan 2A/(kπ)’yi kullanır.

6Sık yapılan hatalar

  • İki işareti evirmek yerine örnek örnek çarpmak.
  • h’yi çevirmeden kaydırmak; bu, evrişimi değil korelasyonu verir.
  • Darbe yanıtı ile basamak yanıtını karıştırmak: basamak yanıtı, h’nin kümülatif toplamı veya integralidir.
  • Harmonikleri yanlış saymak: k/T’deki bileşen k. harmoniktir.
Kendini sına İkisi de n = 0’dan başlayan x[n] = {1, 2} ve h[n] = {1, 1} için y[1] nedir?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Cevap: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Örnek örnek çarpım x[1]·h[1] yalnızca 2 verir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: ayrık evrişim. Bir çıkış örneğini, en büyük örneği, tüm örneklerin toplamını, y’nin ilk veya son indisini, bir FIR filtrenin çıkışını ya da basamak yanıtını bulursunuz.
  • Orta: sürekli evrişim. İki darbe, bir üstel ile bir basamak veya darbe ya da iki üstel için belirli bir zamanda y(t)’yi; ayrıca y’nin alanını, başlangıcını, bitişini veya süresini bulursunuz.
  • Zor: darbe yanıtları ve Fourier serisi. Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin h(t)’sini, bir özyinelemenin h[n]’sini veya basamak yanıtını, bir sinüs için kazancı veya fazı ya da bir kare, üçgen veya darbe dalgasının bir harmoniğini bulursunuz.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

x[n] = {4, −3, −2} ve h[n] = {3, 1} dizilerinin ikisi de n = 0’dan başlar. y[n] = x[n] ∗ h[n] evrişiminin örneğini (y[1]) bulun.

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

İstenen: y[1]

İpuçlarını göster
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. n = 1 için terimler k = 0, 1’dir.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ayrık evrişim: doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin çıkışı y[n] = Σk x[k]·h[n − k]’dır: h’yi çevirin, n kadar kaydırın, x ile örnek örnek çarpın ve toplayın. x, nx’ten başlayan Lx örnekten, h ise nh’tan başlayan Lh örnekten oluşuyorsa, y, nx + nh’tan başlayan Lx + Lh − 1 örnekten oluşur. y’nin tüm örneklerinin toplamı (Σx)·(Σh)’ye eşittir. y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … biçimindeki bir FIR filtre, h[n] = bn ile yapılan bir evrişimdir.

Toplamın terimleri

Yalnızca hem x[k] hem h[n − k]’nın var olduğu k değerleri katkı yapar.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Toplayın

y[1] = −5

Cevap

y[1] = −5
Örnek 2Orta
x(t)t11h(t)t1

x(t) = 1 (0 ≤ t < 1 s için, başka yerde sıfır) darbesi, h(t) = e−2tu(t) olan bir sisteme uygulanıyor. Darbe bittikten sonra, t = 2,5 s anında çıkışı (y(2,5)) bulun.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

İstenen: y(2.5)

İpuçlarını göster
  1. Darbeyi, t = 0’daki bir basamak eksi t = 1 s’deki bir basamak olarak yazın.
  2. Basamak yanıtı (A/a)(1 − e−at)’dir.
  3. Darbeden sonra: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Sürekli evrişim: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. h’yi çevirin, t konumuna kaydırın ve çakışan kısımların çarpımını integre edin. Nedensel işaretler için integral 0’dan t’ye kadar alınır. Yararlı sonuçlar: y’nin alanı, x’in alanı çarpı h’nin alanıdır; x, t₁’den t₂’ye ve h, t₃’ten t₄’e kadar sürüyorsa y, t₁ + t₃’ten t₂ + t₄’e kadar sürer. h(t) = e−atu(t) ve A yüksekliğinde bir basamak için y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Darbenin sonundaki çıkış

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Darbeden sonraki sönümlenme

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Cevap

y(2,5) = 0,02152
Örnek 3Zor
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Bir sistem y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t) denklemine uyar. t = 0,05 s anında darbe yanıtını (h(0,05)) bulun.

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

İstenen: h(0.05)

İpuçlarını göster
  1. Sıfır başlangıç koşullarıyla Laplace dönüşümü alın: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Darbe yanıtı ve Fourier serisi: h(t) darbe yanıtı bir LTI sistemi tamamen tanımlar: y′ + a·y = b·x için h(t) = b·e−atu(t), y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] için ise h[n] = b·aⁿu[n]’dir. cos ωt sinüsü, |H(jω)| kazancı ve ∠H(jω) fazıyla geçer; burada H, h’nin Fourier dönüşümüdür. Periyodik bir işaret, k/T’deki harmoniklerin toplamıdır: ±A’lık bir kare dalgada yalnızca tek harmonikler vardır ve genlikleri 4A/(kπ)’dir; tepe değeri A olan bir üçgen dalgada 8A/(π²k²), A yüksekliğinde ve D görev oranında bir darbe katarında ise ortalama A·D ve harmonikler (2A/(kπ))·|sin(kπD)|’dir.

Transfer fonksiyonu

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Darbe yanıtı

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Cevap

h(0,05) = 2,336

Sorular ve cevaplar

Evrişim ve LTI sistemler nedir?

Herhangi bir giriş, ölçeklenmiş ve kaydırılmış bir vuruşlar dizisi olarak görülebilir. Her vuruş, h’nin ölçeklenmiş ve kaydırılmış bir kopyasını üretir ve çıkış, tüm kopyaların toplamıdır. Bu toplam evrişimdir: y = x ∗ h.

Evrişim, bir sistemin belleği olduğu her yerde ortaya çıkar: filtreler, sensörler, yapılar, devreler ve bir işaretin zaman içinde yayılması.

Evrişim ve LTI sistemler soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. İki işareti de çizin ve her birinin sıfırdan farklı olduğu yeri not edin.
  2. h’yi çevirip kaydırın: her çıkış zamanı için iki işaretin çakıştığı aralığı bulun.
  3. Yalnızca o çakışma üzerinde çarpıp toplayın (ayrık) veya çarpıp integre edin (sürekli).
  4. Sonucu kontrol edin: çıkış, başlangıç zamanlarının toplamında başlar, bitiş zamanlarının toplamında biter; alanı veya toplamı da girişlerin alanlarının veya toplamlarının çarpımıdır.
Evrişim ve LTI sistemler konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • İki işareti evirmek yerine örnek örnek çarpmak.
  • h’yi çevirmeden kaydırmak; bu, evrişimi değil korelasyonu verir.
  • Darbe yanıtı istenen yerde basamak yanıtı formülünü kullanmak veya tersini yapmak.
  • Harmonik numarasını yanlış saymak: k/T’deki bileşen k. harmoniktir.
Evrişim ve LTI sistemler alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: ayrık evrişim
  • Orta: sürekli evrişim
  • Zor: darbe yanıtı ve Fourier serisi

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

İntegraller

Bu konuyu içeren dersler

İşaretler ve SistemlerMühendislik Matematiği 2

Elektrik alanında diğer konular

Seri ve paralel dirençlerSüperpozisyonThévenin ve NortonDüğüm analiziÇevre analiziRC ve RL geçici rejimAC empedans ve fazörlerAC güç ve güç faktörüLC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliğiÜç fazlı güçTransformatörlerDC motorlarOp-amp devreleriDiyotlar ve transistörlerDC–DC dönüştürücülerSayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarWheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerVeri toplama ve örneklemeLaplace dönüşümleriBlok diyagramlarBasamak yanıtıBode diyagramları ve paylarKararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisiKalıcı durum hatası ve PID denetimi

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Evrişim ve LTI sistemler çalışma kâğıdı
Evrişim ve LTI sistemler konusunu ücretsiz çalışınEvrişim ve LTI sistemler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.