Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: Routh dizisi ve kutup sayımı, kararlılık için K aralığı, kök yer eğrisi.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Bir geri beslemeli sistemin karakteristik polinomu Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2’dır. Routh dizisini kurun ve Q(s)’in sağ yarı düzlemde kaç kökü (N) olduğunu bulun.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Kesin cevap: tam sayı, yuvarlama yok.

Sonraki soru →
Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi konusunu ücretsiz çalışınKararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. KolayRouth dizisi ve kutup sayımı
  2. Ortakararlılık için K aralığı
  3. Zorkök yer eğrisi

Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi soruları nasıl çözülür

  1. Kapalı çevrim karakteristik polinomunu yazın: 1 + K·G(s) = 0 denkleminin paydası, açılmış hâliyle.
  2. Katsayıları Routh dizisinin ilk iki satırına dönüşümlü olarak yazın ve kalan satırları oluşturun.
  3. İlk sütundaki işaret değişimlerini sayın: her biri sağ yarı düzlemde bir kutuptur. Dizide K varsa, ilk sütunun her elemanının pozitif kalmasını isteyin.
  4. Bir kök yer eğrisi için kutupları ve sıfırları, gerçel eksen parçalarını, ağırlık merkezinden çıkan asimptotları ve dK/ds = 0 olan kırılma noktalarını işaretleyin. Bir noktadaki kazanç için K = 1/|G(s)| kullanın.

Sık yapılan hatalar

  • Tüm katsayılar pozitif diye sistemin kararlı olduğu sonucuna varmak; üçüncü veya daha yüksek derece için bu yeterli değildir.
  • K eklenirken sistemin sabit terimini unutmak: orijinden uzakta üç kutup varsa s⁰ elemanı abc + K’dır.
  • Yakında üçüncü bir kutup veya bir sıfır varken iki kutbun orta noktasını ayrılma noktası almak.
  • Ağırlık merkezi formülünde kutup konumlarını işaretleri olmadan kullanmak.

Temel formüller

Kararlılık
karakteristik polinomun tüm kökleri sol yarı düzlemde
Routh dizisi, üçüncü dereceden bir polinomun s¹ elemanı
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Sağ yarı düzlem kökleri
ilk sütundaki işaret değişimi sayısı
Üçüncü dereceden s³ + a₂s² + a₁s + a₀
tüm a > 0 ve a₂·a₁ > a₀ olduğunda kararlı
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Karakteristik denklem
1 + K·G(s) = 0
Asimptotlar
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Ayrılma ve birleşme noktaları
dK/ds = 0
Büyüklük koşulu
K = 1/|G(s)|
Ayrılma açısı
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Laplace dönüşümleri, Blok diyagramlar

1Kararlılık ne demektir

Her sınırlı giriş sınırlı bir çıkış verdiğinde sistem kararlıdır. Bir bozucu etkiden sonra kararlı bir sistem yatışır; kararsız bir sistem ise kaçar veya artan genlikle salınır.

Davranışı, kapalı çevrimin kutupları, yani karakteristik polinomunun kökleri belirler. s = p’deki bir kutup, yanıta ept terimini ekler.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Gerçel kısmı negatif olan bir kutup (sol yarı düzlem), sönüp giden bir terim verir.
  • Gerçel kısmı pozitif olan bir kutup (sağ yarı düzlem), sınırsız büyüyen bir terim verir.
  • Dolayısıyla sistem yalnızca tüm kutuplar sol yarı düzlemdeyken kararlıdır.
Kendini sına Bir kapalı çevrimin kutupları −3, −1 + j2, −1 − j2 ve +0,5’tedir. Kararlı mıdır?
  1. Evet, çünkü dört kutbun üçü sol yarı düzlemdedir
  2. Evet, çünkü karmaşık kutupların gerçel kısımları negatiftir
  3. Hayır, +0,5’teki kutup onu kararsız yapar
  4. Hayır, çünkü karmaşık kutuplar bir sistemi her zaman kararsız yapar

Cevap: Hayır, +0,5’teki kutup onu kararsız yapar. Sağ yarı düzlemde tek bir kutup yeter: e0,5t terimi büyür. Sol yarı düzlemdeki karmaşık kutuplar sorun değildir; sönümlenen bir salınım verirler.

2Routh dizisi

Üçüncü veya daha yüksek dereceden bir polinomda kökleri elle bulmak zordur. Routh–Hurwitz kriteri, kökleri çözmeden sağ yarı düzlemde kaç kök olduğunu söyler.

Katsayıları ilk iki satıra dönüşümlü olarak yazın. s³ + a₂s² + a₁s + a₀ için:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Her yeni satır, üstündeki iki satırdan oluşturulur. Üçüncü dereceden polinom için s¹ elemanı:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

İlk sütundaki işaret değişimi sayısı, sağ yarı düzlemdeki kök sayısına eşittir.

Örnek: s³ + 2s² + 3s + 10. İlk sütun 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10’dur. İşaretler +, +, −, + gider: iki değişim; dolayısıyla iki kutup sağ yarı düzlemdedir.

Kendini sına s³ + 4s² + 5s + 2 için s¹ satırının ilk elemanı nedir?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Cevap: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. 4’e bölmeyi unutmak 18, çarpımların yerini değiştirmek −4,5 verir.

3Adım adım yöntem

  1. Kapalı çevrim karakteristik denklemi 1 + K·G(s) = 0’ı yazın ve bir polinom olacak şekilde açın.
  2. Routh dizisinin ilk iki satırını katsayılarla doldurun.
  3. Kalan satırları oluşturun; K görünüyorsa onu sembol olarak tutun.
  4. İlk sütundaki işaret değişimlerini sayın veya K’nın izin verilen aralığını bulmak için ilk sütunun her elemanının pozitif olmasını isteyin.
  5. Sınır kazançta s¹ satırı sıfırdır. Bu durumda s² satırı, kökleri ±jω olan ve salınım frekansını gösteren a·s² + b = 0 yardımcı denklemini verir.

Üçüncü dereceden s³ + a₂s² + a₁s + a₀ için hızlı bir sınama: tüm katsayılar pozitif ve a₂·a₁ > a₀ ise, ancak o zaman kararlıdır.

4Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Aşağıdaki çevrimde L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))’tür. Hangi K kazançları için kapalı çevrim kararlıdır ve sınırda hangi frekansta salınır?

1

Çevrime bakın

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Karakteristik denklem 1 + L(s) = 0’dır; dolayısıyla s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Açın

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Routh dizisini kurun

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

s¹ elemanı (6·8 − 1·K)/6’dır.

4

İlk sütunu pozitif tutun

s⁰ satırından: K > 0. s¹ satırından: 48 − K > 0; dolayısıyla K < 48.

5

Sınırdaki frekans

K = 48’de s¹ satırı sıfırdır. s² satırı 6s² + 48 = 0 verir; dolayısıyla s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Cevabı kontrol edin

K = 48’de polinom s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8)’dir. Kökleri −6 ve ±j2,83’tür; beklendiği gibi.

Cevap

Çevrim 0 < K < 48 için kararlıdır; K = 48’de ω = 2,83 rad/s ile salınır.

5Kök yer eğrisi

Kök yer eğrisi, K 0’dan ∞’a giderken kapalı çevrim kutuplarının nasıl hareket ettiğini gösterir. Açık çevrim kutuplarında (×) başlar ve açık çevrim sıfırlarında (○) veya sonsuzda biter.

  • Gerçel eksen üzerindeki bir nokta, sağındaki gerçel kutup ve sıfırların sayısı tek ise eğri üzerindedir.
  • Sonsuza giden n − m kol, (2q + 1)·180°/(n − m) açılarındaki asimptotları izler.
  • Asimptotlar σa = (Σ kutuplar − Σ sıfırlar)/(n − m) ağırlık merkezinden başlar.
  • Kollar, dK/ds = 0 olan yerlerde gerçel eksenden ayrılır veya eksene katılır; eksen üzerinde K = −1/G(s).
  • Eğri üzerindeki herhangi bir s noktasındaki kazanç K = 1/|G(s)|’dir: kutuplara olan uzaklıkların çarpımının sıfırlara olan uzaklıkların çarpımına bölümü.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) için ağırlık merkezi (0 − 2 − 4)/3 = −2’dir ve asimptotlar 60°, 180° ve 300°’de çıkar.

ReIm0−2−460°

0 ile −2 arasındaki ayrılma noktası dK/ds = 0’dan gelir: 3s² + 12s + 8 = 0; dolayısıyla s = −0,845.

Kendini sına L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) için iki kol gerçel ekseni nerede terk eder?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Cevap: s = −3. İki gerçel kutup ve sıfır yokken K = −(s + 1)(s + 5) ikisinin tam ortasında en büyüktür: dK/ds = −(2s + 6) = 0 s = −3 verir.

6Sık yapılan hatalar

  • Tüm katsayıları pozitif diye bir sistemi kararlı saymak. Üçüncü veya daha yüksek derece için Routh sınamasına da ihtiyacınız vardır.
  • Sistemin sabit terimini unutmak: K/((s + a)(s + b)(s + c)) için s⁰ katsayısı K değil, abc + K’dır.
  • Üçüncü bir kutup veya bir sıfır eğriyi çekerken iki kutbun orta noktasını ayrılma noktası almak.
  • Ağırlık merkezinde işaretleri atlamak: (s + 4) çarpanı s = −4’te bir kutuptur.
Kendini sına s³ + s² + 2s + 8 = 0 kararlı bir karakteristik denklem midir?
  1. Evet: katsayıların işareti değişmiyor
  2. Evet: tüm katsayılar pozitiftir
  3. Hayır: a₂·a₁ = 2, a₀ = 8’den küçüktür
  4. Hayır: üçüncü dereceden bir polinom asla kararlı olmaz

Cevap: Hayır: a₂·a₁ = 2, a₀ = 8’den küçüktür. s¹ elemanı (1·2 − 8)/1 = −6’dır; dolayısıyla 1, 1, −6, 8 ilk sütunu iki kez işaret değiştirir: iki kutup sağ yarı düzlemdedir. Pozitif katsayılar yeterli değildir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: Routh dizisi ve kutup sayımı. Üçüncü veya dördüncü dereceden bir polinomun sağ yarı düzlem kutuplarını sayar, dizinin bir elemanını, birinci dereceden bir sistem için bir kapalı çevrim kutbunu ya da onu verilen bir noktaya yerleştiren kazancı bulursunuz.
  • Orta: K aralığı. En büyük kararlı kazancı, o kazançtaki salınım frekansını, kararsız bir sistemi kararlı yapan en küçük kazancı veya kazancın ne kadar artabileceğini bulursunuz.
  • Zor: kök yer eğrisi. Asimptotların ağırlık merkezini, sanal eksen kesişimini, ayrılma ve birleşme noktalarını, karmaşık bir kutuptan ayrılma açısını ya da verilen bir noktadaki veya sönüm oranındaki kazancı bulursunuz.

Bir sönüm oranındaki kazanç için karakteristik polinomu yazın ve s² + 2ζωns + ωn² ile karşılaştırın.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
R(s)+K1s + 10C(s)−

Bir K orantılı kazancı, birim geri beslemeli bir çevrimde G(s) = 1/(s + 10) sistemini denetler. Kapalı çevrim kutbunu s = −10,5 noktasına yerleştiren K kazancını bulun.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

İstenen: K

İpuçlarını göster
  1. Kapalı çevrim kutbu, s + 10 + 1K = 0 denkleminin köküdür.
  2. Bu denklemde s = −10,5 yazın.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Routh–Hurwitz kriteri: doğrusal bir sistem, karakteristik polinomunun tüm kökleri s-düzleminin sol yarısında olduğunda kararlıdır. Katsayıları Routh dizisinin ilk iki satırına dönüşümlü olarak yazın. Yeni bir satırın her elemanı, üstündeki iki satırdan elde edilir; üçüncü dereceden a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ için s¹ elemanı b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂’dir. İlk sütundaki işaret değişimi sayısı, sağ yarı düzlemdeki kök sayısına eşittir. Katsayılarda bir K kazancı varsa, ilk sütunun her elemanı pozitif kalmalıdır: s¹ elemanını sıfır yapan kazanç kararlılık sınırıdır ve s² satırı, bu durumdaki sürekli salınımın frekansını verir.

Karakteristik denklem

s + 10 + 1K = 0

Gerekli kazanç

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Cevap

K = 0,5
Örnek 2Orta
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) sisteminin s = 4 noktasında kararsız bir kutbu vardır. Bir K orantılı kazancı etrafında birim geri beslemeli bir çevrim kapatır. Kapalı çevrimi kararlı yapan en küçük kazancı (Kmin) bulun.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

İstenen: Kmin

İpuçlarını göster
  1. Karakteristik polinom (s − 4)(s + 1) + K(s + 2)’dir.
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. İkinci dereceden bir polinom, iki katsayısı da pozitif olduğunda kararlıdır.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Routh–Hurwitz kriteri: doğrusal bir sistem, karakteristik polinomunun tüm kökleri s-düzleminin sol yarısında olduğunda kararlıdır. Katsayıları Routh dizisinin ilk iki satırına dönüşümlü olarak yazın. Yeni bir satırın her elemanı, üstündeki iki satırdan elde edilir; üçüncü dereceden a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ için s¹ elemanı b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂’dir. İlk sütundaki işaret değişimi sayısı, sağ yarı düzlemdeki kök sayısına eşittir. Katsayılarda bir K kazancı varsa, ilk sütunun her elemanı pozitif kalmalıdır: s¹ elemanını sıfır yapan kazanç kararlılık sınırıdır ve s² satırı, bu durumdaki sürekli salınımın frekansını verir.

Karakteristik polinom

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Koşullar

s² + c₁s + c₀ için tüm kökler, ancak ve ancak c₁ > 0 ve c₀ > 0 olduğunda sol yarı düzlemdedir.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Cevap

Kmin = 3
Örnek 3Zor
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) için kök yer eğrisi, s = 0 ile s = −4 arasında gerçel eksenden ayrılır. Ayrılma noktasını (sb) bulun.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

İstenen: sb

İpuçlarını göster
  1. Gerçel eksen üzerinde K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. dK/ds = 0 yazın: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. 0 ile −4 arasında kalan kökü alın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kök yer eğrisi: K kazancı 0’dan ∞’a giderken kapalı çevrim kutupları, yani 1 + K·G(s) = 0 denkleminin kökleri, açık çevrim kutuplarından açık çevrim sıfırlarına veya sonsuza doğru hareket eder. Gerçek eksen üzerindeki bir nokta, sağındaki gerçek kutup ve sıfırların sayısı tek ise eğriye aittir. Sonsuza giden n − m kol, σₐ = (Σ kutuplar − Σ sıfırlar)/(n − m) ağırlık merkezinden başlayan ve (2q + 1)·180°/(n − m) açılarındaki asimptotları izler. Kollar, dK/ds = 0 olan yerlerde gerçek eksenden ayrılır veya eksene katılır. ∠G(s) = 180° açı koşulu eğrinin şeklini belirler; |G(s)| büyüklük koşulundan K = 1/|G(s)| ise eğrinin herhangi bir noktasındaki kazancı verir.

Gerçel eksen boyunca kazanç

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Durağan noktalar

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Eğri üzerindeki noktayı seçin

Eğri, gerçel eksende 0 ile −4 arasındadır; diğer kök eğri üzerinde değildir.

sb = −1,761

Cevap

sb = −1,761

Sorular ve cevaplar

Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi nedir?

Her sınırlı giriş sınırlı bir çıkış verdiğinde sistem kararlıdır. Bir bozucu etkiden sonra kararlı bir sistem yatışır; kararsız bir sistem ise kaçar veya artan genlikle salınır.

Davranışı, kapalı çevrimin kutupları, yani karakteristik polinomunun kökleri belirler. s = p’deki bir kutup, yanıta ept terimini ekler.

Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Kapalı çevrim karakteristik polinomunu yazın: 1 + K·G(s) = 0 denkleminin paydası, açılmış hâliyle.
  2. Katsayıları Routh dizisinin ilk iki satırına dönüşümlü olarak yazın ve kalan satırları oluşturun.
  3. İlk sütundaki işaret değişimlerini sayın: her biri sağ yarı düzlemde bir kutuptur. Dizide K varsa, ilk sütunun her elemanının pozitif kalmasını isteyin.
  4. Bir kök yer eğrisi için kutupları ve sıfırları, gerçel eksen parçalarını, ağırlık merkezinden çıkan asimptotları ve dK/ds = 0 olan kırılma noktalarını işaretleyin. Bir noktadaki kazanç için K = 1/|G(s)| kullanın.
Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Tüm katsayılar pozitif diye sistemin kararlı olduğu sonucuna varmak; üçüncü veya daha yüksek derece için bu yeterli değildir.
  • K eklenirken sistemin sabit terimini unutmak: orijinden uzakta üç kutup varsa s⁰ elemanı abc + K’dır.
  • Yakında üçüncü bir kutup veya bir sıfır varken iki kutbun orta noktasını ayrılma noktası almak.
  • Ağırlık merkezi formülünde kutup konumlarını işaretleri olmadan kullanmak.
Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: Routh dizisi ve kutup sayımı
  • Orta: kararlılık için K aralığı
  • Zor: kök yer eğrisi

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Laplace dönüşümleriBlok diyagramlar

Hesaplayıcılar

Routh–Hurwitz kararlılık kriteri hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Kontrol Mühendisliği 1Kontrol Mühendisliği 2: Geri Beslemeli Kontrol TasarımıFE Electrical and Computer sınav hazırlığı

Elektrik alanında diğer konular

Seri ve paralel dirençlerSüperpozisyonThévenin ve NortonDüğüm analiziÇevre analiziRC ve RL geçici rejimAC empedans ve fazörlerAC güç ve güç faktörüLC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliğiÜç fazlı güçTransformatörlerDC motorlarOp-amp devreleriDiyotlar ve transistörlerDC–DC dönüştürücülerSayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarWheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerVeri toplama ve örneklemeLaplace dönüşümleriBlok diyagramlarBasamak yanıtıBode diyagramları ve paylarKalıcı durum hatası ve PID denetimiEvrişim ve LTI sistemler

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi çalışma kâğıdı
Kararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi konusunu ücretsiz çalışınKararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisi konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.