Sayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplar: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Birler, sıfırlar ve kapılar

Sayısal devreler iki değerle çalışır: 0 (düşük gerilim, yanlış) ve 1 (yüksek gerilim, doğru). Bir mantık kapısı bir ya da daha fazla girişi alır ve tek bir çıkış verir.

• AND yalnızca tüm girişler 1 olduğunda 1 verir. A·B ya da AB olarak yazılır.
• OR girişlerden en az biri 1 olduğunda 1 verir. A + B olarak yazılır.
• NOT tersini alır: 0, 1 olur; 1, 0 olur. A′ olarak yazılır (ya da A’nın üzerine bir çizgi çekilir).
• NAND ve NOR, AND ve OR’un ardından NOT gelen biçimleridir; bir sembolün üzerindeki küçük daire “tersleme” anlamına gelir.
• XOR (A ⊕ B) girişler farklı olduğunda 1 verir.

Bir doğruluk tablosu girişlerin her birleşimi için çıkışı listeler: n giriş için 2ⁿ satır. ABC = 101 satırı 5 numaralı satırdır ve m₅ minterimi adını alır.

2Boole cebiri

Mantık ifadeleri sıradan cebir gibi kurallara uyar, bir de kendilerine özgü birkaç kural vardır. En yararlı olanlar:

X·Y + X·Y′ = X birleştirme kuralı sadeleştirmenin kalbidir: tek bir değişkende farklılaşan iki terim birleşir ve o değişken ortadan kalkar.

Bir çarpımlar toplamı (SOP), AND terimlerinin OR’udur; örneğin F = AB′ + C. Bir toplamlar çarpımı (POS), OR terimlerinin AND’idir; örneğin F = (A + B)(B′ + C). Her çarpım terimi literallerden kurulur: tersli ya da terssiz değişkenler.

3Karnaugh haritaları

Karnaugh haritası, komşu hücrelerin tam olarak tek bir değişkende farklılaştığı bir ızgara olarak çizilmiş doğruluk tablosudur. Satırlar ve sütunlar bu yüzden ikilik sırayla değil 00, 01, 11, 10 (Gray kodu) olarak gider.

1. Her minterimin hücresine 1 yazın; her hücredeki küçük sayı onun minterim numarasıdır.
2. 1’lerin çevresine 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücrelik dikdörtgenler çizin. Gruplar kenarlardan dolanabilir: sol ve sağ sütunlar komşudur, üst ve alt satırlar da öyle.
3. Her grubu olabildiğince büyük yapın ve her 1 kapsanana kadar olabildiğince az grup kullanın.
4. Her grubu bir çarpım terimi olarak okuyun: yalnızca grubun içinde değişmeyen değişkenleri tutun. 2ᵏ hücrelik bir grup k değişken kaybeder.

Yukarıdaki haritada dört 1 tek bir grup oluşturur. Grubun içinde A değişir ve C değişir, yalnızca B = 1 sabit kalır; dolayısıyla F = B.

X işaretli hücreler fark etmez (don’t-care) durumlarıdır: hiç oluşmayan giriş birleşimleri. Bir X’i grubu büyütüyorsa 1 gibi kullanın, aksi hâlde yok sayın. 0’ları gruplamak en küçük POS biçimini verir.

4Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

5Flip-floplar ve sayıcılar

Kapılar girişlerine anında tepki verir. Bir flip-flop bir bit saklar ve yalnızca saatin etkin kenarında (genellikle yükselen kenar) değişir.

• D flip-flop: Q her saat kenarında D olur (Q⁺ = D).
• T flip-flop: T = 1 iken tersler (toggle), T = 0 iken tutar.
• JK flip-flop: JK = 00 tutar, 01 sıfırlar (0 yapar), 10 kurar (1 yapar), 11 tersler.

Terslenen (toggle) bir flip-flop her yükselen kenarda değişir; bu yüzden çıkışının frekansı saatin yarısıdır. n tanesini art arda bağlamak 2ⁿ durumlu n bitlik bir ikilik sayıcı verir. Mod-N sayıcı 0, 1, …, N − 1 sayıp 0’a döner; 2ⁿ ≥ N olan en küçük n’yi gerektirir ve son çıkışı f_clk/N ile çalışır.

Bir dalgacık (ripple) sayıcıda her aşama bir öncekinin saatiyle sürülür; gecikmeler toplanır: saat periyodu en az n·t_pd olmalıdır. Kaydırmalı yazmaç sayıcıları daha az durum kullanır: n flip-flopluk bir halka sayıcı n duruma, bir Johnson sayıcı 2n duruma sahiptir.

6Sık yapılan hatalar

• K-haritası sütunlarını 00, 01, 10, 11 diye yazmak. Doğru sıra Gray kodudur: 00, 01, 11, 10.
• Grupların haritanın kenarlarından dolanabildiğini unutmak.
• 3 ya da 6 hücrelik gruplar yapmak. Grupların 1, 2, 4, 8 ya da 16 hücresi olur.
• İşe yaramayan bir fark etmez (don’t-care) durumunu kapsamak: bir X’in kapsanması hiçbir zaman gerekmez.
• Bir grubu, değişen değişkenleri tutarak okumak. Yalnızca sabit kalanları tutun.
• Bir sayıcının başa sardığını unutmak: n bitlik bir sayıcı 2ⁿ modunda sayar.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: verilen girişler için bir kapı devresini hesaplamak, doğruluk tablosundaki 1’leri saymak, bir minterimi Karnaugh haritasına yerleştirmek, bir fonksiyon için NAND kapısı sayısı ya da en kötü durum yayılım gecikmesi.
• Orta: bir ifadeyi sadeleştirmek, Karnaugh haritasıyla en küçük SOP ya da POS biçimini bulmak, çoklayıcıyla (multiplexer) kurulan bir fonksiyon ya da haritadaki yalıtılmış 1.
• Zor: fark etmez (don’t-care) durumlu haritalar, temel asal implikantlar, flip-flop zamanlama diyagramları, çok sayıda darbeden sonraki sayıcılar, flip-flop sayısı ya da çıkış frekansı ve kaydırmalı yazmaçlar.

Sadeleştirilmiş bir ifadeyi doğruluk tablosunun bir iki satırını sınayarak denetleyin: özgün ve sadeleştirilmiş biçim aynı çıkışı vermelidir.