Kalıcı durum hatası ve PID denetimi: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Kalıcı durum hatası ve PID denetimi alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: sistem tipi ve hata sabitleri, kalıcı durum hataları ve kazanç, P, PI ve PD tasarımı.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Birim geri beslemeli bir çevrimin açık çevrim transfer fonksiyonu G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))’dır. Hız hata sabitini (Kv) bulun.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Sonraki soru →
Kalıcı durum hatası ve PID denetimi konusunu ücretsiz çalışınKalıcı durum hatası ve PID denetimi konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaysistem tipi ve hata sabitleri
  2. Ortakalıcı durum hataları ve kazanç
  3. ZorP, PI ve PD tasarımı

Kalıcı durum hatası ve PID denetimi soruları nasıl çözülür

  1. C(s)·G(s) açık çevriminin s = 0’daki kutuplarını sayın: sistem tipi budur.
  2. Girişe uygun hata sabitini hesaplayın: basamak için Kp, rampa için Kv, parabol için Ka.
  3. ess = A/(1 + Kp), A/Kv veya A/Ka formülünü uygulayın ya da ihtiyacınız olan kazanç için çözün.
  4. Bir sönüm veya hız özelliği için kapalı çevrim karakteristik polinomunu yazın ve s² + 2ζω_n·s + ω_n² ile eşleştirin.

Sık yapılan hatalar

  • Basamak için A/(1 + Kp) yerine A/Kp kullanmak.
  • Katsayıları eşleştirirken sistem kazancını unutmak: çevrim kazancı, K çarpı sistem kazancıdır.
  • Sistem tipini sayarken denetleyicinin integratörünü göz ardı etmek.
  • 0 tipi bir çevrimde tek başına orantılı kazancın basamak hatasını gidermesini beklemek.

Temel formüller

Sistem tipi
G(s)’in s = 0’daki kutup sayısı
Hata sabitleri
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Basamak A
ess = A/(1 + Kp)
Rampa A·t
ess = A/Kv
Parabol A·t²/2
ess = A/Ka
PID denetleyici
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
İkinci dereceden hedef
s² + 2ζωns + ωn²
Aşım ve zamanlama
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Kalıcı durum hatası ve PID denetimi konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Blok diyagramlar, Basamak yanıtı

1Bir komutu izlemek

Geri beslemeli bir çevrim r komutunu y çıkışıyla karşılaştırır ve e = r − y hatası üzerinde etki eder. İdeal olarak çıkış tam olarak komutta sonlanır.

Çoğu zaman öyle olmaz. Geçici hal sönümlendikten sonra bir fark kalabilir: kalıcı durum hatası ess.

tyress​

ess’nin büyüklüğü, girişin türüne (basamak, rampa veya parabol) ve çevrimin kaç integratör içerdiğine bağlıdır.

Kendini sına Birim geri beslemeli bir çevrim r = 1 alıyor ve çıkışı y = 0,95’te oturuyor. Kalıcı durum hatası nedir?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Cevap: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Çıkışın kendisi 0,95’tir ve çıkış komutun altında kaldığı için işaret pozitiftir.

2Sistem tipi ve hata sabitleri

Sistem tipi, açık çevrim G(s)’in s = 0’daki kutup sayısıdır, yani integratör sayısıdır. G(s) = 10/(s(s + 5))’in bir tane vardır; dolayısıyla 1 tipidir.

Üç hata sabiti, G(s)’i çok düşük frekansta (s → 0) özetler:

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Son değer teoremiyle her giriş için hatayı verirler:

basamak A: A/(1 + Kp) rampa A·t: A/Kv parabol A·t²/2: A/Ka
  • 0 tipi: sonlu basamak hatası, sonsuz rampa hatası.
  • 1 tipi: sıfır basamak hatası, sonlu rampa hatası.
  • 2 tipi: sıfır basamak ve rampa hatası, sonlu parabol hatası.
Kendini sına G(s) = 10/(s(s + 5))’in Kv hız hata sabiti nedir?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Cevap: 2. s·G(s) = 10/(s + 5) ve s = 0’da bu 10/5 = 2’dir. 0,5 değeri sabit değil, 1/Kv rampa hatasıdır.

3Adım adım yöntem

  1. Açık çevrimi yazın: denetleyici çarpı sistem, C(s)·G(s).
  2. Sistem tipini bulmak için s = 0’daki kutuplarını sayın.
  3. Girişe uygun hata sabitini seçin: basamak için Kp, rampa için Kv, parabol için Ka.
  4. Limiti hesaplayın: s çarpanlarını sadeleştirin, sonra geriye kalanlarda s = 0 yazın.
  5. Hata formülünü uygulayın veya istenen hatayı veren kazanç için çözün.

Bir sönüm veya hız özelliği için kapalı çevrim karakteristik polinomunu yazın ve s² + 2ζωns + ωn² ile eşleştirin.

4Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Birim geri beslemeli bir çevrimde G(s) = K/(s(s + 4))’tür. r(t) = 2t rampasını 0,1 kalıcı durum hatasıyla izlemelidir. K’yı ve ortaya çıkan sönüm oranını bulun.

1

Sistem tipini bulun

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s)’in s = 0’da bir kutbu vardır; dolayısıyla çevrim 1 tipidir: rampa sonlu bir hata verir.

2

Hız sabiti

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Gerekli Kv

Rampa eğimi A = 2’dir; dolayısıyla ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Kazanç

K = 4·Kv = 80
5

Sönümü kontrol edin

Karakteristik polinom s² + 4s + 80’dir; dolayısıyla ωn = √80 = 8,94 rad/s ve ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Hata koşulu sağlanır, ancak basamak yanıtı yaklaşık % 49 aşar. Denetleyicilerin tek bir kazançtan fazlası olmasının nedeni bu ödünleşimdir.

Cevap

K = 80, bu da ζ = 0,22 verir.

5P, PI ve PID denetleyiciler

PID denetleyici, hata üzerinde üç etkiyi birleştirir:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Orantılı (Kp): 0 tipi bir sistemde daha hızlı bir çevrim ve daha küçük bir hata; ancak basamak hatası hiçbir zaman sıfıra ulaşmaz.
  • İntegral (Ki/s): s = 0’da bir kutup ekler; böylece tip bir artar ve basamak hatasız izlenir.
  • Türev (Kd·s): sönüm ekler ve aşımı azaltır.

Kazançları seçmek için katsayıları eşleştirin. G(s) = 2/(s + 3) üzerindeki bir PI denetleyici, s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki karakteristik polinomunu verir. ωn = 5 rad/s ve ζ = 0,8 için hedef s² + 8s + 25’tir:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Kendini sına 0 tipi bir çevrimin denetleyicisine bir integratör ekleniyor. Birim basamak için kalıcı durum hatasına ne olur?
  1. Büyür
  2. Küçülür ama sıfır olmaz
  3. Sonsuz olur
  4. Sıfır olur

Cevap: Sıfır olur. İntegratör çevrimi 1 tipi yapar; dolayısıyla Kp sonsuzdur ve A/(1 + Kp) = 0. Tek başına daha büyük bir orantılı kazanç hatayı yalnızca küçültürdü.

6Sık yapılan hatalar

  • Basamak için A/(1 + Kp) yerine A/Kp kullanmak.
  • Katsayıları eşleştirirken sistem kazancını unutmak: çevrim kazancı, denetleyici kazancı çarpı sistem kazancıdır.
  • Yalnızca sistemin integratörlerini sayıp PI denetleyicideki integratörü atlamak.
  • Kv hesaplanırken sıfırları atlamak: (s + 3) çarpanı s = 0’da 3 eder.
Kendini sına Kp = 9 olan 0 tipi bir çevrime 5 büyüklüğünde bir basamak uygulanıyor. Kalıcı durum hatası nedir?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Cevap: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Yalnızca Kp’ye bölmek 0,556, basamak büyüklüğünü atlamak 0,1 verir; 4,5 ise son çıkıştır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: sistem tipi ve hata sabitleri. Bir transfer fonksiyonunun tipini, Kp’sini, Kv’sini veya Ka’sını, bir basamak hatasını ya da P denetimli bir çevrimin son çıkışını bulursunuz.
  • Orta: kalıcı durum hataları ve kazanç. Bir rampa, bir parabol veya bir basamak artı rampa için hatayı ya da istenen hatayı veren kazancı bulursunuz.
  • Zor: P, PI ve PD tasarımı. Bir sönüm oranı için K’yı seçer, verilen bir K için aşımı, tepe zamanını veya yerleşme süresini bulur, katsayıları eşleştirerek PI veya PD kazançlarını seçer ya da PI denetleyiciyle rampa hatasını bulursunuz.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Birim geri beslemeli bir çevrimin açık çevrim transfer fonksiyonu G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))’dır. İvme hata sabitini (Ka) bulun.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

İstenen: Ka

İpuçlarını göster
  1. K_a = s → 0 iken lim s²·G(s).
  2. s², orijindeki çift katlı kutbu sadeleştirir.
  3. Ka = 2·2/2.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kalıcı durum hatası: birim geri beslemeli bir çevrimde, açık çevrim transfer fonksiyonu G(s) ise hata E(s) = R(s)/(1 + G(s))’dir ve son değer teoremine göre ess = lims→0 s·E(s). Sistem tipi, G(s)’in s = 0’daki kutup sayısıdır. Hata sabitleri Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) ve Ka = lim s²·G(s)’dir; hepsi s → 0 içindir. A büyüklüğündeki bir basamak ess = A/(1 + Kp), bir A·t rampası A/Kv ve bir A·t²/2 parabolü A/Ka verir. 0 tipi bir çevrim basamağı sonlu bir hatayla izler; 1 tipi bir çevrim basamağı tam olarak, rampayı ise sonlu bir hatayla izler.

İvme sabiti

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Cevap

Ka = 2
Örnek 2Orta
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Birim geri beslemeli bir çevrimde G(s) = K/((s + 2)(s + 5))’dır. Basamak girişi için kalıcı durum hatasını % 2 yapan kazancı (K) bulun.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

İstenen: K

İpuçlarını göster
  1. Birim basamak için e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kalıcı durum hatası: birim geri beslemeli bir çevrimde, açık çevrim transfer fonksiyonu G(s) ise hata E(s) = R(s)/(1 + G(s))’dir ve son değer teoremine göre ess = lims→0 s·E(s). Sistem tipi, G(s)’in s = 0’daki kutup sayısıdır. Hata sabitleri Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) ve Ka = lim s²·G(s)’dir; hepsi s → 0 içindir. A büyüklüğündeki bir basamak ess = A/(1 + Kp), bir A·t rampası A/Kv ve bir A·t²/2 parabolü A/Ka verir. 0 tipi bir çevrim basamağı sonlu bir hatayla izler; 1 tipi bir çevrim basamağı tam olarak, rampayı ise sonlu bir hatayla izler.

Gerekli hata sabiti

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Kazanç

K/10 = 49 → K = 490

Cevap

K = 490

Kapalı çevrim kararlılığını da kontrol edin: bu ikinci dereceden çevrimde her K > 0 kararlıdır.

Örnek 3Zor
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

K = 8 orantılı denetleyicisi, birim geri beslemeli bir çevrimde G(s) = 5/(s(s + 2)) sistemini sürmektedir. ts ≈ 4/(ζωₙ) kullanarak basamak yanıtının %2 yerleşme süresini ts bulun.

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

İstenen: ts (s)

İpuçlarını göster
  1. Karakteristik polinom s² + 2s + 40’dır.
  2. ζωₙ, s katsayısının yarısıdır: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

P, PI ve PID denetimi: C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s denetleyicisi hata üzerinde etki eder. Orantılı kazanç çevrimi hızlandırır ve 0 tipi bir sistemin hatasını azaltır, ancak onu hiçbir zaman ortadan kaldırmaz. İntegral terimi s = 0’da bir kutup ekler: sistem tipi bir artar ve basamak hatasız izlenir. Türev terimi sönüm ekler. Kazançları seçmek için kapalı çevrim karakteristik polinomunu yazın ve s² + 2ζωns + ωn² ile karşılaştırın. Ardından %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd (ωd = ωn√(1 − ζ²)) ve ts ≈ 4/(ζωn) olur.

Karakteristik polinom

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ ve ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Yerleşme süresi

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Cevap

ts = 4 s

Yerleşme süresi burada K’ya bağlı değildir: K’yı artırmak yalnızca yanıtın daha hızlı salınmasını sağlar.

Sorular ve cevaplar

Kalıcı durum hatası ve PID denetimi nedir?

Geri beslemeli bir çevrim r komutunu y çıkışıyla karşılaştırır ve e = r − y hatası üzerinde etki eder. İdeal olarak çıkış tam olarak komutta sonlanır.

Çoğu zaman öyle olmaz. Geçici hal sönümlendikten sonra bir fark kalabilir: kalıcı durum hatası ess.

Kalıcı durum hatası ve PID denetimi soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. C(s)·G(s) açık çevriminin s = 0’daki kutuplarını sayın: sistem tipi budur.
  2. Girişe uygun hata sabitini hesaplayın: basamak için Kp, rampa için Kv, parabol için Ka.
  3. ess = A/(1 + Kp), A/Kv veya A/Ka formülünü uygulayın ya da ihtiyacınız olan kazanç için çözün.
  4. Bir sönüm veya hız özelliği için kapalı çevrim karakteristik polinomunu yazın ve s² + 2ζω_n·s + ω_n² ile eşleştirin.
Kalıcı durum hatası ve PID denetimi konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Basamak için A/(1 + Kp) yerine A/Kp kullanmak.
  • Katsayıları eşleştirirken sistem kazancını unutmak: çevrim kazancı, K çarpı sistem kazancıdır.
  • Sistem tipini sayarken denetleyicinin integratörünü göz ardı etmek.
  • 0 tipi bir çevrimde tek başına orantılı kazancın basamak hatasını gidermesini beklemek.
Kalıcı durum hatası ve PID denetimi alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: sistem tipi ve hata sabitleri
  • Orta: kalıcı durum hataları ve kazanç
  • Zor: P, PI ve PD tasarımı

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Blok diyagramlarBasamak yanıtı

Bu konuyu içeren dersler

Kontrol Mühendisliği 1Kontrol Mühendisliği 2: Geri Beslemeli Kontrol TasarımıMekatronik SistemlerFE Electrical and Computer sınav hazırlığıFE Mechanical sınav hazırlığı

Elektrik alanında diğer konular

Seri ve paralel dirençlerSüperpozisyonThévenin ve NortonDüğüm analiziÇevre analiziRC ve RL geçici rejimAC empedans ve fazörlerAC güç ve güç faktörüLC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliğiÜç fazlı güçTransformatörlerDC motorlarOp-amp devreleriDiyotlar ve transistörlerDC–DC dönüştürücülerSayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarWheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerVeri toplama ve örneklemeLaplace dönüşümleriBlok diyagramlarBasamak yanıtıBode diyagramları ve paylarKararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisiEvrişim ve LTI sistemler

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Kalıcı durum hatası ve PID denetimi çalışma kâğıdı
Kalıcı durum hatası ve PID denetimi konusunu ücretsiz çalışınKalıcı durum hatası ve PID denetimi konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.