LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: doğal frekans, Q ve enerji, seri ve paralel RLC, tasarım, kayıplar ve sönüm.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
C = ?L = 4,7 mH

L = 4,7 mH olan bir LC devresi 50 kHz frekansında rezonansa girmelidir. Kapasitansı C nF cinsinden bulun.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Sonraki soru →
LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği konusunu ücretsiz çalışınLC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaydoğal frekans, Q ve enerji
  2. Ortaseri ve paralel RLC
  3. Zortasarım, kayıplar ve sönüm

LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği soruları nasıl çözülür

  1. Önce rezonans frekansını bulun: ω₀ = 1/√(LC) ve f₀ = ω₀/(2π).
  2. Devrenin seri mi paralel mi olduğuna karar verin: seri Q = (1/R)√(L/C), paralel Q = R√(C/L).
  3. Bant genişliği için BW = f₀/Q formülünü ya da R/(2πL) (seri) ve 1/(2πRC) (paralel) kısayollarını kullanın.
  4. Enerji sorularında, ideal bir LC devresinde toplam ½CV₀² enerjisinin sabit kaldığını ve her çeyrek periyotta C ile L arasında gidip geldiğini kullanın.

Sık yapılan hatalar

  • ω₀ (rad/s) ile f₀’ı (Hz) karıştırmak: aralarında 2π kat vardır.
  • Paralel devrede seri Q formülünü kullanmak; paralelde daha büyük R daha yüksek Q demektir.
  • f₀’ı f₁ ile f₂’nin tam ortasına koymak: f₀, bunların geometrik ortalaması olan √(f₁f₂)’dir.
  • µH, nF ve pF’ı H ve F’a çevirmeyi unutmak.

Temel formüller

Doğal frekans
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Enerji
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Tepe akım
Imax = V0√(C/L)
Kalite faktörü
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Seri RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Paralel RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bant genişliği
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Yarım güç frekansları
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
r bobin dirençli tank devresi
RD = L/(C·r) = Q²·r
Genliğin sönümü
e−Rt/(2L)

LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: AC empedans ve fazörler

1Bir LC devresinde ne olur

Bir kondansatörü yükleyin ve bir bobine bağlayın. Kondansatör bobinden bir akım geçirir. Akım manyetik alan oluşturur; kondansatör boşaldığında alan akımı sürdürür ve kondansatör ters yönde yüklenir. Sonra her şey geri döner.

C+−Li

Enerji, C’nin elektrik alanı (½Cv²) ile L’nin manyetik alanı (½Li²) arasında, tıpkı bir sarkacın yükseklik ile hız arasında salınması gibi gidip gelir. Direnç yoksa toplam ½CV0² enerjisi aynı kalır.

Kendini sına Kondansatör gerilimi sıfır olduğu anda, ideal bir LC devresinin enerjisi nerededir?
  1. Isı olarak kaybolmuştur
  2. Tamamı bobinde ve akım tepe değerinde
  3. Tamamı kondansatörde
  4. Yarısı C’de, yarısı L’de

Cevap: Tamamı bobinde ve akım tepe değerinde. v = 0 iken kondansatör ½Cv² = 0 tutar, yani tüm enerji bobindeki ½Li²’dir: akım en büyük değerindedir. İdeal devrede direnç yoktur, bu yüzden hiçbir şey kaybolmaz.

2Doğal frekans

Devre, L ve C’nin reaktanslarının eşit olduğu frekansta, ωL = 1/(ωC), salınır:

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

L = 10 mH ve C = 1 µF ile: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s ve f0 = 1592 Hz. Enerji, T = 1/f0 periyodunun dörtte birinde C’den L’ye geçer.

Enerji tepe akımı da verir: ½CV0² = ½LImax², dolayısıyla Imax = V0√(C/L).

Kendini sına C’yi iki katına çıkarırsanız f0’a ne olur?
  1. Yarıya iner
  2. f0/√2’ye düşer, yaklaşık 0,71·f0
  3. İki katına çıkar
  4. √2 kat artar

Cevap: f0/√2’ye düşer, yaklaşık 0,71·f0. f0, 1/√C ile orantılıdır; bu yüzden C’yi iki katına çıkarmak onu √2’ye böler. Yarıya ancak C dört katına çıkarsa iner.

3Q çarpanı ve bant genişliği

Gerçek devreler dirençte enerji kaybeder. Kalite çarpanı Q, depolanan enerjiyi kayıpla karşılaştırır: Q = 2π·(depolanan enerji)/(çevrim başına kaybolan enerji). Yüksek Q, keskin bir rezonans tepesi verir.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Bant genişliği, akımın tepe değerinin 0,707 katı olduğu f1 ve f2 yarım güç frekansları arasındaki tepe genişliğidir:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Seri RLC: Q = (1/R)·√(L/C) ve BW = R/(2πL). Küçük bir seri direnç yüksek Q verir.
  • Paralel RLC: Q = R·√(C/L) ve BW = 1/(2πRC). Büyük bir paralel direnç yüksek Q verir.

4Adım adım yöntem

  1. L ve C’yi H ve F’a çevirin, sonra ω0 = 1/√(LC) ve f0 = ω0/(2π) değerlerini bulun.
  2. R’nin seri mi paralel mi olduğuna karar verin ve Q için uygun formülü kullanın.
  3. Bant genişliğini bulun: BW = f0/Q.
  4. Yarım güç frekansları için f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) kullanın; yüksek Q için f0 ∓ BW/2 yakın bir değerdir.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Bir seri RLC devresinde R = 10 Ω, L = 10 mH ve C = 1 µF’tır. Rezonans frekansını, kalite çarpanını, bant genişliğini ve yarım güç frekanslarını bulun.

1

Devreye bakın

RLC

Üç eleman da aynı akımı taşır, dolayısıyla bu bir seri devredir.

2

Rezonans frekansı

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Kalite faktörü

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Bant genişliği

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Kontrol: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Yarım güç frekansları

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz ve 1673 Hz

Kontrol: 1673 − 1514 = 159 Hz ve √(1514·1673) = 1592 Hz.

Cevap

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz ve f2 = 1,67 kHz.

6Sık yapılan hatalar

  • ω0’ı rad/s ile f0’ı Hz ile karıştırmak: aralarında 2π kat vardır.
  • Paralel devrede seri Q formülünü kullanmak.
  • f0’ı f1 ile f2’nin tam ortasına koymak: o, bunların geometrik ortalamasıdır.
  • mH, µH, nF ve pF’ı H ve F’a çevirmeyi unutmak.
Kendini sına Bir paralel RLC devresinde R = 10 kΩ, L = 10 mH ve C = 1 µF’tır. Q değeri nedir?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Cevap: 100. Paralelde Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Seri formülü (1/R)·√(L/C) 0,01, karekökü atmak ise 1 verir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: doğal frekans, Q ve enerji. f0’ı ya da verilen bir f0 için C’yi, Q’dan bant genişliğini ya da bant genişliğinden Q’yu, depolanan enerjiyi veya tepe akımını bulursunuz.
  • Orta: seri ve paralel RLC. Seri veya paralel bir devrenin Q’sunu ya da bant genişliğini, kesin yarım güç frekansını, enerjinin C’den L’ye geçme süresini ya da belirli bir kondansatör geriliminde L’deki enerjiyi bulursunuz.
  • Zor: tasarım, kayıplar ve sönüm. Bir bant genişliği için R’yi ya da bir filtre için C’yi boyutlandırır, çevrim başına kaybolan enerjiyi, bir tank devresinin dinamik direncini, genliğin yarıya inmesine kadar geçen çevrim sayısını ya da iki yarım güç frekansından Q’yu bulursunuz.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
C = ?L = 47 µH

L = 47 µH olan bir LC devresi 500 kHz frekansında rezonansa girmelidir. Kapasitansı C nF cinsinden bulun.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

İstenen: C (nF)

İpuçlarını göster
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

LC rezonansı: bir bobine bağlanan yüklü bir kondansatör, kendisini ters yönde yükleyen bir akım geçirir: enerji, f0 = 1/(2π√(LC)) doğal frekansında C’nin elektrik alanı (½Cv²) ile L’nin manyetik alanı (½Li²) arasında gidip gelir. Direnç yoksa toplam ½CV0² enerjisi sabit kalır, dolayısıyla tepe akım Imax = V0√(C/L)’dir. Bir periyot T = 1/f0’dır; enerji bunun dörtte birinde C’den L’ye geçer.

Açısal frekans

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Kapasitans

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Cevap

C = 2,156 nF
Örnek 2Orta
V2 Ω2,2 mH220 nF

Bir seri RLC devresinde R = 2 Ω, L = 2,2 mH ve C = 220 nF’dir. Bant genişliğini BW Hz cinsinden bulun.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

İstenen: BW (Hz)

İpuçlarını göster
  1. Bant genişliği f₀/Q’dur.
  2. Seri RLC için bu BW = R/(2πL) olarak sadeleşir: C ortadan kalkar.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Q çarpanı ve bant genişliği: bir rezonans devresinde Q = 2π·(depolanan enerji)/(çevrim başına kaybolan enerji). Seri RLC için Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); paralel RLC için Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Yarım güç frekansları f1 ve f2 arasındaki bant genişliği (burada güç yarıya, akım ya da gerilim tepe değerinin 1/√2’sine iner) BW = f2 − f1 = f0/Q’dur; bu seride R/(2πL), paralelde 1/(2πRC)’dir. Rezonans frekansı geometrik ortalama f0 = √(f1f2)’dir ve f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Kayıplar salınımın sönmesine de yol açar: seri RLC’de genlik e−Rt/(2L) gibi azalır.

rad/s cinsinden bant genişliği

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Hz cinsinden bant genişliği

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Cevap

BW = 144,7 Hz

f₀ = 7,234 kHz ile bu Q = 50 verir.

Örnek 3Zor
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Bir paralel tank devresi, 10 nF değerinde bir kondansatör ile sargı direnci 0,5 Ω olan 47 µH değerinde bir bobinden oluşuyor. Rezonansta bir direnç gibi davranır; dinamik direnci RD = L/(C·r). RD değerini kΩ cinsinden bulun.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

İstenen: RD (kΩ)

İpuçlarını göster
  1. Tank devresi rezonansta yalnızca küçük bir akım çeker, bu yüzden empedansı büyüktür.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Q çarpanı ve bant genişliği: bir rezonans devresinde Q = 2π·(depolanan enerji)/(çevrim başına kaybolan enerji). Seri RLC için Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); paralel RLC için Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Yarım güç frekansları f1 ve f2 arasındaki bant genişliği (burada güç yarıya, akım ya da gerilim tepe değerinin 1/√2’sine iner) BW = f2 − f1 = f0/Q’dur; bu seride R/(2πL), paralelde 1/(2πRC)’dir. Rezonans frekansı geometrik ortalama f0 = √(f1f2)’dir ve f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Kayıplar salınımın sönmesine de yol açar: seri RLC’de genlik e−Rt/(2L) gibi azalır.

Dinamik direnç

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Q ile kontrol

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Cevap

RD = 9,4 kΩ

Sorular ve cevaplar

LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği nedir?

Bir kondansatörü yükleyin ve bir bobine bağlayın. Kondansatör bobinden bir akım geçirir. Akım manyetik alan oluşturur; kondansatör boşaldığında alan akımı sürdürür ve kondansatör ters yönde yüklenir. Sonra her şey geri döner.

Enerji, C’nin elektrik alanı (½Cv²) ile L’nin manyetik alanı (½Li²) arasında, tıpkı bir sarkacın yükseklik ile hız arasında salınması gibi gidip gelir. Direnç yoksa toplam ½CV0² enerjisi aynı kalır.

LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Önce rezonans frekansını bulun: ω₀ = 1/√(LC) ve f₀ = ω₀/(2π).
  2. Devrenin seri mi paralel mi olduğuna karar verin: seri Q = (1/R)√(L/C), paralel Q = R√(C/L).
  3. Bant genişliği için BW = f₀/Q formülünü ya da R/(2πL) (seri) ve 1/(2πRC) (paralel) kısayollarını kullanın.
  4. Enerji sorularında, ideal bir LC devresinde toplam ½CV₀² enerjisinin sabit kaldığını ve her çeyrek periyotta C ile L arasında gidip geldiğini kullanın.
LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • ω₀ (rad/s) ile f₀’ı (Hz) karıştırmak: aralarında 2π kat vardır.
  • Paralel devrede seri Q formülünü kullanmak; paralelde daha büyük R daha yüksek Q demektir.
  • f₀’ı f₁ ile f₂’nin tam ortasına koymak: f₀, bunların geometrik ortalaması olan √(f₁f₂)’dir.
  • µH, nF ve pF’ı H ve F’a çevirmeyi unutmak.
LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: doğal frekans, Q ve enerji
  • Orta: seri ve paralel RLC
  • Zor: tasarım, kayıplar ve sönüm

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

AC empedans ve fazörler

Hesaplayıcılar

Rezonans frekansı hesaplayıcı (LC ve RLC)

Bu konuyu içeren dersler

Devre Analizi 2: AC devreleri

Elektrik alanında diğer konular

Seri ve paralel dirençlerSüperpozisyonThévenin ve NortonDüğüm analiziÇevre analiziRC ve RL geçici rejimAC empedans ve fazörlerAC güç ve güç faktörüÜç fazlı güçTransformatörlerDC motorlarOp-amp devreleriDiyotlar ve transistörlerDC–DC dönüştürücülerSayısal mantık: kapılar, K-haritaları ve flip-floplarWheatstone köprüsü ve gerinim ölçerlerVeri toplama ve örneklemeLaplace dönüşümleriBlok diyagramlarBasamak yanıtıBode diyagramları ve paylarKararlılık: Routh–Hurwitz ve kök yer eğrisiKalıcı durum hatası ve PID denetimiEvrişim ve LTI sistemler

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği çalışma kâğıdı
LC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği konusunu ücretsiz çalışınLC rezonansı, Q çarpanı ve bant genişliği konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.