Bode diyagramları ve paylar: adım adım çözümlü alıştırma soruları
Diğer adları: Bode diyagramı · faz payı · kazanç payı
Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Bode diyagramları ve paylar alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: filtreler ve asimptotlar, genlik ve faz, kararlılık payları.
Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
Şekilde gösterilen RC yüksek geçiren filtre için, R = 10 kΩ, C = 4,7 nF ile, köşe (−3 dB) frekansını fc bulun. Hz cinsinden verin.
Bir filtreye veya yükselticiye sinüs dalgası verirseniz, aynı frekansta bir sinüs çıkar. Yalnızca iki şey değişir: büyüklüğü ve zamanlaması.
Kazanç |H|, çıkış genliğinin giriş genliğine oranıdır. Faz φ, çıkışın derece cinsinden ne kadar kaydığıdır. Negatif faz, çıkışın geride kaldığı anlamına gelir.
İkisi de frekansa bağlıdır. Bir Bode grafiği bunları frekansa karşı çizer: üstte desibel cinsinden kazanç, altta faz. Frekans ekseni logaritmiktir, bu yüzden her dekat (×10) aynı genişliği alır.
Desibel bir oranı toplayabileceğiniz bir sayıya çevirir:
|H|dB = 20·log₁₀|H|
1 kazancı 0 dB, 10 kazancı 20 dB, 100 kazancı 40 dB ve 0,1 kazancı −20 dB’dir.
1/√2 ≈ 0,707 kazancı −3 dB’dir. Bu, bir filtrenin geçirme bandının kenarıdır.
Kendini sına Bir yükselticinin kazancı 100’dür. Desibel cinsinden kazancı nedir?
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
Cevap: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB, gerilimler için değil güç oranları için olan 10·log₁₀’u kullanır. 2 yalnızca log₁₀(100)’dür.
2Birinci dereceden filtreler
Bir direnç ile bir kondansatör veya bobin en basit filtreyi oluşturur. Bir alçak geçiren filtre alçak frekansları geçirir ve yüksekleri zayıflatır. Bir yüksek geçiren filtre bunun tersini yapar.
RC alçak geçiren filtrede (solda) çıkış kondansatör üzerindedir. RC yüksek geçiren filtrede (sağda) direnç üzerindedir. Bobinle, alçak geçiren filtrenin çıkışı R üzerinde, yüksek geçiren filtrenin çıkışı L üzerindedir.
Değişim, kazancın −3 dB olduğu kesim frekansı civarında olur. Alçak geçiren ve yüksek geçiren sürüm için aynıdır:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc rad/s, fc Hz cinsindendir. Önce R, C ve L’yi temel birimlere çevirin: Ω, F ve H.
Grafik bir alçak geçiren filtreyi gösterir. ωc’nin altında kazanç yaklaşık 0 dB’dir. Üstünde kazanç dekat başına 20 dB düşer. Faz 0°’den −90°’ye gider ve kesim noktasında −45°’dir.
Herhangi bir frekansta, x = f/fc = ω/ωc oranıyla:
Alçak geçiren: |H| = 1/√(1 + x²) ve φ = −atan x.
Yüksek geçiren: |H| = x/√(1 + x²) ve φ = 90° − atan x.
Çözümlü örnek
R = 470 Ω ve L = 47 mH olan bir RL yüksek geçiren filtrenin kesim frekansı fc’yi bulun.
1
Temel birimler
L = 47 mH = 0,047 H
2
rad/s cinsinden kesim
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
Hz cinsinden kesim
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Cevap
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
Kendini sına Bir RC alçak geçiren filtrede R = 1 kΩ ve C = 1 µF’tır. Kesim frekansı fc nedir?
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
Cevap: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, yani fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000, Hz değil rad/s cinsinden ωc’dir. 6283 2π ile çarpar ve 159 kHz, kΩ’daki k’yı unutur.
3Düz çizgili Bode grafikleri
Bir G(s) transfer fonksiyonu için genliği düz çizgilerle çizebilirsiniz. Her çarpan, eğimi kendi kesim frekansında değiştirir.
Paydadaki bir kutup çarpanı (s + p), çizgiyi ω = p’den itibaren dekat başına 20 dB aşağı büker.
Paydaki bir sıfır çarpanı (s + z), çizgiyi ω = z’den itibaren dekat başına 20 dB yukarı büker.
Paydadaki bir s çarpanı (bir integratör) her frekansta dekat başına −20 dB ve −90° faz verir.
İntegratör olmadan grafik, dB’ye çevrilmiş DC kazancı G(0)’da düz başlar.
Şekil G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)) fonksiyonunu gösterir. G(0) = 10 000/1000 = 10, yani grafik 20 dB’de başlar. 10 rad/s’de dekat başına −20 dB’ye, 100 rad/s’de dekat başına −40 dB’ye bükülür.
Bir banttaki eğimi bulmak için: her integratör için dekat başına −20 ile başlayın, sonra o bandın altındaki her kutup kesimi için −20, her sıfır kesimi için +20 ekleyin.
Kendini sına G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Düz çizgili grafiğin 5 ile 50 rad/s arasındaki eğimi nedir?
dekat başına 0 dB
dekat başına −20 dB
dekat başına −40 dB
dekat başına −60 dB
Cevap: dekat başına −40 dB. İntegratör baştan −20 verir. 5’teki kutup −20 ekler, yani eğim 5 ile 50 arasında −40’tır. 50’deki sıfır, 50’nin üstünde onu −20’ye geri getirir. −60 sıfırı bir kutup sayar.
4Tek bir frekansta kesin değerler
Düz çizgiler bir taslaktır. Kesin bir değer için s = jω koyun. Her (jω + a) çarpanı şu özelliklere sahip karmaşık bir sayıdır:
Örnek: ω = 4 rad/s’de G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)). |j4 + 3| = 5 ve |j4 + 4| = 5,657, yani |G| = 150/28,28 = 5,30, bu da 14,5 dB’dir.
Faz −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°’dir.
Çıkışı R üzerinde olan seri RLC devresi bir band geçiren filtredir. Rezonans frekansı ω₀ = 1/√(LC) yakınındaki frekansları geçirir. Bant genişliği rad/s cinsinden BW = R/L ve kalite faktörü Q = ω₀/BW’dir.
G(s) veya H(jω)’yı yazın. Bir RC veya RL filtre için önce ωc’yi ve x = ω/ωc oranını bulun.
Her çarpan için genliğini √(ω² + a²) ve açısını atan(ω/a) bulun.
Genlikleri çarpın ve bölün. Sıfır açılarını toplayın ve kutup açılarını çıkarın; bir integratör −90° ekler.
Genliği 20·log₁₀ ile dB’ye çevirin.
Düz çizgili taslakla karşılaştırın: kesin değer ona yakın olmalı ve tek bir kesim noktasında 3 dB altında olmalıdır.
5Çözümlü bir örnek
Bu tipik bir orta zorlukta sorudur. Her adımı açmadan önce deneyin.
Çözümlü örnek
Bir RC alçak geçiren filtrede R = 10 kΩ ve C = 100 nF’tır. 480 Hz’lik bir sinüs uygulanıyor. dB cinsinden kazanç |H|’yi ve faz kaymasını φ bulun.
1
Köşe frekansı
Temel birimleri kullanın: R = 10 000 Ω ve C = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
Frekans oranı
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
Giriş kesimin üstündedir, bu yüzden belirgin bir kazanç kaybı bekleyin.
3
Kazanç
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
Faz
Bir alçak geçiren filtre çıkışı geride bırakır, yani faz negatiftir.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
Cevabı kontrol edin
Düz çizgi −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB verir, kesin −10,0 dB’ye yakındır.
Cevap
|H| ≈ −10,0 dB ve φ ≈ −71,7°.
6Sık yapılan hatalar
Bir gerilim kazancı için 10·log₁₀ kullanmak. Sinyal kazançları 20·log₁₀ kullanır.
ω ile f’yi karıştırmak. ωc = 1/(RC) rad/s cinsindendir; Hz için 2π’ye bölün.
Bir RL kesim frekansı için L/R kullanmak. L/R zaman sabitidir; kesim ωc = R/L’dir.
Genlikleri ω + a gibi toplamak. jω + a’nın büyüklüğü √(ω² + a²)’dir.
İntegratörü unutmak: 1/s her frekansta dekat başına −20 dB ve −90° verir.
Soru kesin genliği isterken düz çizgi değerini vermek.
Kendini sına G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) fonksiyonunun dB cinsinden DC kazancı nedir?
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
Cevap: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40 ve 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB 10·log₁₀ kullanır. 40 orandır, dB değil. 52,0 dB paydada s = 0 koymayı unutur.
7Sınav soruları nasıl görünür
Kolay: filtreler ve asimptotlar. Bir RC veya RL filtrenin Hz veya rad/s cinsinden kesim frekansı, bir banttaki düz çizgili grafiğin eğimi veya dB cinsinden DC kazancı.
Orta: genlik ve faz. Verilen bir frekansta bir filtrenin dB cinsinden kazancı veya fazı, bir transfer fonksiyonunun kesin |G(jω)| veya ∠G(jω) değeri ya da bir RLC band geçiren filtrenin f₀, BW veya Q değeri.
Zor: 85/(s(s + 5)) veya K/(s(s + a)(s + b)) gibi bir L(s) çevriminin kararlılık payları.
Zor seviye için iki frekansa ihtiyacınız var. Kazanç kesişiminde ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). Faz kesişiminde ω180, ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) için faz kesişimi ω180 = √(a·b)’dedir. Her iki pay da pozitifse çevrim kararlıdır.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) için alçak frekanslı (DC) kazancı desibel cinsinden bulun, |G(0)| dB cinsinden.
G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))
İstenen: |G(0)|(dB)
İpuçlarını göster
Çok alçak frekansta s → 0.
G(0) = 0,3.
20·log₁₀(0,3).
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ωc = 1/(RC) ya da R/L ve fc = ωc/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ve φ = −atan(ω/ωc) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jωc). Faz kesişimi ω180: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.
DC kazanç
G(0) = 0,3
Desibel olarak
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
Cevap
|G(0)| = −10,46 dB
Örnek 2Orta
Gösterilen RC alçak geçiren filtre için R = 1 kΩ, C = 1 nF geçerlidir. 1600 kHz değerinde sinüsoidal bir giriş uygulanır. vout’un vin’e göre φ faz kaymasını derece cinsinden bulun.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
İstenen: φ(°)
İpuçlarını göster
Önce köşe frekansını bulun: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ωc = 1/(RC) ya da R/L ve fc = ωc/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ve φ = −atan(ω/ωc) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jωc). Faz kesişimi ω180: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.
Köşe frekansı
ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05
Faz
φ = − atan(10,05) = −84,32°
Cevap
φ = −84,32°
Örnek 3Zor
Birim geri beslemeli bir çevrimin açık çevrim transfer fonksiyonu L(s) = 185/(s(s + 5))’dır. Faz payını PM derece cinsinden bulun.
x = ω² için ikinci dereceden denklemi çözün: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ωc = 1/(RC) ya da R/L ve fc = ωc/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ve φ = −atan(ω/ωc) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jωc). Faz kesişimi ω180: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.
Kazanç kesişimi
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
Faz payı
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
Cevap
PM = 20,82°
Sorular ve cevaplar
Bode diyagramları ve paylar nedir?
Bir filtreye veya yükselticiye sinüs dalgası verirseniz, aynı frekansta bir sinüs çıkar. Yalnızca iki şey değişir: büyüklüğü ve zamanlaması.
İkisi de frekansa bağlıdır. Bir Bode grafiği bunları frekansa karşı çizer: üstte desibel cinsinden kazanç, altta faz. Frekans ekseni logaritmiktir, bu yüzden her dekat (×10) aynı genişliği alır.
Bode diyagramları ve paylar soruları adım adım nasıl çözülür?
Frekans yanıtı: transfer fonksiyonunda s = jω koyun. Desibel cinsinden genlik 20·log₁₀|H(jω)|’dır ve faz, payın çarpanlarının açıları toplamından paydanınkilerin çıkarılmasıdır. Birinci dereceden bir RC ya da RL filtresinin köşe (−3 dB) frekansı ωc = 1/(RC) ya da R/L ve fc = ωc/(2π)’dir; bir alçak geçiren filtre |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) ve φ = −atan(ω/ωc) verir. Asimptotik (doğru parçalı) Bode diyagramında her kutup genliği köşe frekansında 20 dB/dekad aşağı büker, her sıfır 20 dB/dekad yukarı büker ve bir integratör 1/s her frekansta −20 dB/dekad verir. Kazanç kesişimi ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); faz payı PM = 180° + ∠L(jωc). Faz kesişimi ω180: ∠L(jω) = −180°; kazanç payı GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. İki pay da pozitifse kapalı çevrim kararlıdır.
Bode diyagramları ve paylar konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
Bu, oran olarak kazançtır. Çevirin: 20·log₁₀(0,3).
Gerilim ya da sinyal oranı için 20·log₁₀ kullanın, 10·log₁₀ değil (o güç içindir).
Her çarpanda s = 0 koyun: G(0) = 0,3, 12 değil.
Bode diyagramları ve paylar alıştırmaları neleri kapsar?
Kolay: filtreler ve asimptotlar
Orta: genlik ve faz
Zor: kararlılık payları
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
Çalışma nasıl işler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.