Sayı sistemleri: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Sayı sistemi nedir

Gündelik hayatta ondalık, yani 10 tabanında sayarsınız. On rakamı vardır, 0’dan 9’a, ve her basamak sağındaki basamağın on katı değerindedir.

352’de 3, 300 eder; 5, 50 eder; 2, 2 eder. Basamaklar sağdan 1, 10, 100 değerindedir.

Bilgisayar her şeyi açık ya da kapalı anahtarlar olarak saklar. Bu yüzden yalnızca 0 ve 1 rakamlarıyla ikili, yani 2 tabanında sayar.

Bir ikili rakam bir bittir. 8 bitlik bir grup bir bayttır.

Kural her tabanda aynıdır: her rakam, değerinin tabanın bir kuvvetiyle çarpımı kadar eder.

2İkili ve onaltılık

İkili sistemde basamaklar sağdan 1, 2, 4, 8, 16 ve böyle devam eder. Her basamak sağındakinin iki katı değerindedir.

8 bitlik bir sayıda basamaklar 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 ve 1 değerindedir.

Bir ikili sayıyı okumak için 1 olan her bitin basamak değerini toplayın. 0011 0010 için bu 32 + 16 + 2 = 50’dir.

Uzun bit dizilerini okumak zordur. Programcılar bunları çoğu zaman 16 tabanında onaltılık (hex) yazar.

Onaltılık sistem 16 rakama ihtiyaç duyar. 0’dan 9’a ve sonra A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 ve F = 15 harflerini kullanır.

Onaltılık basamaklar sağdan 1, 16, 256 ve 4096 değerindedir. Onaltılık sayı çoğu zaman önüne 0x konularak yazılır, örneğin 0x2F.

Bir onaltılık rakam tam olarak 4 bittir, bu yüzden 0011 0010, 0x32’dir: 0011 3’tür ve 0010 2’dir.

3Negatif sayılar: ikiye tümleyen

Tüm basamakları pozitif olan bir bayt 0’dan 255’e kadar saklar. Buna işaretsiz denir.

Negatif sayıları saklamak için bilgisayarlar ikiye tümleyeni kullanır. Tek fark, en soldaki bitin +128 yerine −128 değerinde olmasıdır.

Yani 1000 0011, −128 + 2 + 1 = −125’tir. En soldaki bite işaret biti denir: 1 olduğunda sayı negatiftir.

8 bitlik bir ikiye tümleyen sayı −128’den (1000 0000) +127’ye (0111 1111) kadar gider.

−x negatif sayısını yazmak için ikili +x ile başlayın, her biti ters çevirin (0 olur 1, 1 olur 0) ve 1 ekleyin.

−5 için örnek: 5, 0000 0101’dir. Ters çevrilmişi 1111 1010’dur. 1 eklenince 1111 1011 olur.

Aynı dizilim işaretsiz okunursa değeri 256 − x’tir. −5 için bu 251’dir ve 1111 1011 gerçekten 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251’dir.

4Adım adım yöntem

İkili ya da onaltılıktan ondalığa:

1. Her rakamın altına basamak değerini yazın: ikili için 2’nin kuvvetleri, onaltılık için 16’nın kuvvetleri; sağda 1 ile başlayın.
2. Onaltılıkta her harfi değeriyle değiştirin: A = 10’dan F = 15’e.
3. Her rakamı basamak değeriyle çarpın ve hepsini toplayın.

İkiye tümleyen:

1. Bir dizilimi okumak için en soldaki bite (8 bitte) −128 değerini verin ve tüm 1 bitlerinin basamak değerlerini toplayın.
2. −x yazmak için +x’i 8 bitte yazın, her biti ters çevirin ve 1 ekleyin.
3. O dizilimin işaretsiz değeri 256 − x’tir. Bitlerinizi kontrol etmek için kullanın.

Bitler, aralıklar ve bellek:

1. n bit 2ⁿ farklı dizilim verir.
2. İşaretsiz olarak 0’dan 2ⁿ − 1’e kadar saklarlar. İkiye tümleyende −2ⁿ⁻¹’den 2ⁿ⁻¹ − 1’e kadar saklarlar.
3. k öğeye kendi kodunu vermek için 2^b ≥ k olan en küçük b’yi bulun.
4. Bellek için öğe sayısını öğe başına bit ile çarpın, sonra bayt için 8’e, KiB için 1024’e bölün.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

6Sık yapılan hatalar

• Bitleri ters çevirdikten sonra 1 eklemeyi unutmak. Bir eksik bulursunuz.
• İkiye tümleyen dizilimi işaretsiz okumak, örneğin 1111 1111’i −1 yerine 255 olarak.
• İşaret bitini diğer bitlerin önündeki eksi işareti saymak. İkiye tümleyende değeri −128’dir.
• Basamakları yanlış sırada vermek. 1 değerindeki basamak her zaman sağdadır.
• Onaltılıkta A = 11 kullanmak. Harfler A = 10 ile başlar.
• Bellek sorularında bit ile baytı karıştırmak. Bit sayısını 8’e bölün.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: ikili ve onaltılıktan ondalığa. 8 bitlik bir ikili sayıyı ya da 3 basamaklı bir onaltılık sayıyı ondalığa çevirin.
• Orta: ikiye tümleyen. İşaretli 8 bitlik bir dizilimin değerini okuyun ya da negatif bir sayıyı dizilim olarak yazıp işaretsiz değerini verin.
• Zor: bitler, aralıklar ve bellek. n bite sığan en büyük ya da en negatif değer, k kod için gereken bit sayısı ya da bir görüntünün kapladığı bellek.

Zor bir soru örneği: piksel başına 24 bit olan 256 × 256 bir görüntü 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB yer kaplar.