İntegraller: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: belirsiz integral · belirli integral · kısmi integrasyon

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz İntegraller alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: polinomlar, üstel fonksiyonlar, logaritmalar ve değişken değiştirme, eğriler arasındaki alanlar.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
xy−2−1

I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx'i hesaplayın.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Sonraki soru →
İntegraller konusunu ücretsiz çalışınİntegraller konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaypolinomlar
  2. Ortaüstel fonksiyonlar, logaritmalar ve değişken değiştirme
  3. Zoreğriler arasındaki alanlar

İntegraller soruları nasıl çözülür

  1. Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
  2. Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
  3. Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
  4. Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Sık yapılan hatalar

  • Yeni kuvvete bölmeyi unutmak.
  • Değişken değiştirmeden sonra sınırları değiştirmemek.
  • Belirsiz integralde + C’yi unutmak.

Temel formüller

Kuvvet kuralı
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan
∫ab (f − g) dx

İntegraller konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Türevler

1İntegral nedir

İntegral, değişen bir büyüklüğü toplar. En açık resim bir grafiğin altındaki alandır.

Bir araba 5 s boyunca 20 m/s ile gidiyor. 20 · 5 = 100 m yol alır. Hız–zaman grafiğinde bu, çizginin altındaki dikdörtgenin alanıdır.

xy520100

Hız değiştiğinde grafiğin altındaki şekil eğridir ama fikir aynıdır: alan yoldur.

f’nin x = a ile x = b arasındaki altındaki alanı şöyle yazarız:

∫ab f(x) dx

a ve b sayıları integralin sınırlarıdır. dx, x’in değişken olduğunu söyler.

Kendini sına Bir bisikletçi 4 s boyunca sabit 10 m/s ile gidiyor. Hız–zaman grafiğinin altındaki alan nedir?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Cevap: 40 m. Alan bir dikdörtgendir: yükseklik 10 m/s çarpı genişlik 4 s, 40 m verir. 10’u 4’e bölmek 2,5 verir; bu bir alan değildir.

2Ters türevler ve kuvvet kuralı

İntegral almak, türevin tersidir. f’nin bir ters türevi F, türevi f olan bir fonksiyondur.

(x³)′ = 3x² olduğundan 3x²’nin bir ters türevi x³’tür. Herhangi bir sabit eklenebilir, bu yüzden ∫3x² dx = x³ + C yazarız.

İntegraller için kuvvet kuralı: üssü bir artırın, sonra yeni üsse bölün.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Sabit çarpan önde kalır: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Tek başına bir sabit: ∫4 dx = 4x + C.
  • Toplamda her terimi ayrı ayrı integre edin.

Bunları da öğrenin: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x ve ∫sin x dx = −cos x.

Bir ters türevi her zaman kontrol edebilirsiniz: türevini alın, asıl fonksiyonu geri almalısınız.

Kendini sına ∫6x² dx nedir?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Cevap: 2x³ + C. Üssü 3’e çıkarın ve 3’e bölün: 6x³/3 = 2x³. 12x türevdir, integral değil ve 6x³ yeni üsse bölmeyi unutur.

3Belirli integraller ve alanlar

Belirli integralin sınırları vardır ve bir sayı verir. Bir ters türev F bulun, sonra iki sınırdaki değerlerini çıkarın.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

C sabiti çıkarmada sadeleşir, bu yüzden burada yazmayabilirsiniz.

Örnek: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, çünkü ln 1 = 0.

Değişken değiştirme, bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içinde olduğunda yardımcı olur. e0,5x için u = 0,5x alın. Sonuç yukarıdaki kuraldır: 0,5’e bölün.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

İki eğri arasındaki alan, eğrilerin buluştuğu noktalar arasında üstteki eğri eksi alttaki eğrinin integralidir.

y = 2x ve y = x² için eğriler x = 0 ve x = 2’de buluşur. Bu aralıkta 2x üsttedir.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Kendini sına y = x ve y = x² eğrileri x = 0 ve x = 1’de buluşur. Aralarında y = x üsttedir. Çevrelenen alan nedir?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Cevap: 1/6. ∫(x − x²) dx, 0’dan 1’e: 1/2 − 1/3 = 1/6. Alttan üstü çıkarmak −1/6 verir ve iki integrali toplamak 5/6 verir.

4Adım adım yöntem

  1. Fonksiyonu basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın. Kökleri ve kesirleri kuvvet olarak yazın: √x = x1/2.
  2. Her terimin ters türevini kuvvet kuralı ya da standart bir integralle bulun.
  3. Zihninizde türev alarak hızlıca kontrol edin.
  4. Belirli bir integral için F(b) ve F(a)’yı ayrı ayrı hesaplayın.
  5. Çıkarın: F(b) − F(a). a negatifken eksi işaretlerine dikkat edin.

İki eğri arasındaki alan için önce sınırları bulmak üzere f(x) = g(x) çözün, sonra üst eksi alt integralini alın.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx değerini hesaplayın.

1

Terim terim integre edin

3x² için 3x³/3 = x³. 2x için 2x²/2 = x². 1 sabiti x verir.

F(x) = x³ + x² + x
2

Türev alarak kontrol edin

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Bu asıl fonksiyondur, yani F doğrudur.

3

Üst sınırdaki değer

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Alt sınırdaki değer

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Çıkarın

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

İntegral, x = 0 ile x = 2 arasında eğrinin altındaki taralı alandır.

Cevap

I = 14

6Sık yapılan hatalar

  • Yeni kuvvete bölmeyi unutmak.
  • İntegral almak yerine türev almak: üssü artırmak yerine azaltmak.
  • ∫1/x dx’i x⁰/0 diye yazmak. Kuvvet kuralı n = −1 için çalışmaz; ln|x| kullanın.
  • a negatifken F(a)’daki eksi işaretlerini unutmak, örneğin (−1)³ = −1.
  • Belirsiz integralde + C’yi unutmak ya da değişken değiştirmeden sonra sınırları değiştirmemek.
Kendini sına ∫02 x³ dx nedir?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Cevap: 4. F(x) = x⁴/4, yani F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Yeni üs 4’e bölmeyi unutmak 16 verir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: bir polinomun, bazen negatif sınırlı belirli integrali. Kuvvet kuralını ve F(b) − F(a)’yı kullanın.
  • Orta: üstel fonksiyonlar, logaritmalar ve değişken değiştirme; örneğin iki sınır arasında ∫e0,5x dx ya da ∫3/x dx.
  • Zor: y = x² ve y = 4x gibi iki eğrinin çevrelediği alan. Nerede buluştuklarını bulun, sonra üst eksi alt integralini alın.

Hızlı kontrol: iki eğrinin çevrelediği alan her zaman pozitiftir. Negatif bir sayı buluyorsanız çıkarmayı yanlış sırada yaptınız.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xy3y = 0,5x

y = 0,5x eğrisinin altında, x = 0’dan x = 3’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir koni) hacmini V bulun.

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

İstenen: V

İpuçlarını göster
  1. x’teki bir dilim, yarıçapı y = 0,5x olan bir disktir.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Disk yöntemi

V = π∫₀3 0,25x² dx

İntegral alın

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Cevap

V = 7,069

Kontrol: yarıçapı 1,5, yüksekliği 3 olan bir koninin hacmi (1/3)πr²h = 7,069.

Örnek 2Orta
xy2y = x·cos x

I = ∫₀2 x·cos x dx değerini hesaplayın (x radyan cinsinden).

∫₀2 x·cos x dx

İstenen: I

İpuçlarını göster
  1. u = x ve dv = cos x dx alın.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kısmi integrasyon: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, çarpım kuralından gelir. u olarak türevi alındığında basitleşen çarpanı (x’in bir kuvveti ya da ln x), dv olarak ise integralini alabildiğiniz çarpanı (eˣ, sin x, cos x ya da u = ln x iken x) seçin. Belirli integralde u·v’yi iki sınırda hesaplayın: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. x² çarpanı iki tur gerektirir.

u ve dv’yi seçin

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

İlkel fonksiyon

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limitler

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Cevap

I = 0,4024
Örnek 3Zor
xyy = 2x2​y = x

y = 2x2 ve y = x ile sınırlanan bölgenin alanı A'ı bulun.

y = 2x2y = x

İstenen: A

İpuçlarını göster
  1. Önce eğrilerin kesiştiği yerleri bulun: birbirine eşitleyin.
  2. x = 0 ve x = 0,5'da kesişirler. Bu aralıkta doğru parabolün üstündedir.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.

Kesişim noktaları

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Üst eksi alt integrali alın

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Cevap

A = 0,04167

Sorular ve cevaplar

İntegraller nedir?

İntegral, değişen bir büyüklüğü toplar. En açık resim bir grafiğin altındaki alandır.

Bir araba 5 s boyunca 20 m/s ile gidiyor. 20 · 5 = 100 m yol alır. Hız–zaman grafiğinde bu, çizginin altındaki dikdörtgenin alanıdır.

İntegraller soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
  2. Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
  3. Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
  4. Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
İntegraller konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Yeni kuvvete bölmeyi unutmak.
  • Değişken değiştirmeden sonra sınırları değiştirmemek.
  • Belirsiz integralde + C’yi unutmak.
İntegraller alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: polinomlar
  • Orta: üstel fonksiyonlar, logaritmalar ve değişken değiştirme
  • Zor: eğriler arasındaki alanlar

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Türevler

Sonra devam edin

Evrişim ve LTI sistemlerLaplace dönüşümleriÇok değişkenli analizSayısal yöntemlerDiferansiyel denklemler

Hesaplayıcılar

İntegral hesap makinesi (belirli ve belirsiz)

Bu konuyu içeren dersler

Kalkülüs 1Mühendislik MatematiğiDiferansiyel DenklemlerMühendislik Matematiği 2Analiz 2AP Calculus alıştırma soruları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı İntegraller çalışma kâğıdı
İntegraller konusunu ücretsiz çalışınİntegraller konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.