Doğrusal regresyon ve korelasyon: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: regresyon analizi · korelasyon katsayısı · en küçük kareler yöntemi

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Doğrusal regresyon ve korelasyon alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: eğim ve kesişim, korelasyon katsayısı, tahmin.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
xy242352445555660760xy2465060

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Kesişim a değerini bulun.

n = 6
Sonraki soru →
Doğrusal regresyon ve korelasyon konusunu ücretsiz çalışınDoğrusal regresyon ve korelasyon konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayeğim ve kesişim
  2. Ortakorelasyon katsayısı
  3. Zortahmin

Temel formüller

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

Doğrusal regresyon ve korelasyon konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Betimsel istatistik

1Regresyon nedir?

Her olgu için iki nicelik ölçersiniz; örneğin x = çalışılan saat ve y = sınav puanı. Her çift bir saçılım grafiğinde bir noktadır.

xy123456246810

Noktalar kabaca bir doğru boyunca uzanıyorsa, onları bir doğruyla tanımlayabilir ve x’ten y’yi tahmin etmek için kullanabilirsiniz. Bu doğrusal regresyondur.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y şapka”), y’nin tahmin edilen değeridir.
  • b eğimdir: x 1 arttığında ŷ’nın ne kadar değiştiği.
  • a kesişimdir (sabit terim): x = 0’da ŷ’nın değeri.
Kendini sına Bir regresyon doğrusu ŷ = 40 + 5x’tir; x çalışılan saat, ŷ tahmin edilen puandır. 5 ne anlama gelir?
  1. Doğru (5, 40) noktasından geçer
  2. Her ek saat yaklaşık 5 puan ekler
  3. Hiç çalışmayan bir öğrenci 5 alır
  4. Puan, saatin 5 katıdır

Cevap: Her ek saat yaklaşık 5 puan ekler. b eğimi, x'in birim başına ŷ değişimidir. x = 0’daki tahmin edilen puan, 5 değil, a = 40 kesişimidir.

2En küçük kareler doğrusu

Hiçbir doğru her noktadan geçmez. Bir noktanın doğruya olan düşey uzaklığı onun artığıdır (rezidü), e = y − ŷ.

En küçük kareler doğrusu, artıkların kareleri toplamını mümkün olan en küçük yapan doğrudur. Eğimi ve kesişimi, ortalamalardan sapmaların toplamlarından çıkar:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

Doğru her zaman ortalamalar noktasından (x̄, ȳ) geçer. a = ȳ − b · x̄ olmasının nedeni budur.

Yalnızca toplamlar verilmişse Sxx = Σx² − (Σx)²/n ve Sxy = Σxy − ΣxΣy/n kestirmelerini kullanın.

Kendini sına Bir veri kümesi için x̄ = 4, ȳ = 10 ve b = 2. Kesişim a nedir?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Cevap: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Çıkarmak yerine eklemek 18 verir; 10 ise ȳ’nın kendisidir ve eğimi unutur.

3Korelasyon katsayısı

Pearson korelasyon katsayısı r, noktaların bir doğruya ne kadar yakın olduğunu ölçer. Her zaman −1 ile 1 arasındadır.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r, 1’e yakın: güçlü yükselen bir eğilim.
  • r, −1’e yakın: otomobil fiyatı ile otomobil yaşı gibi güçlü düşen bir eğilim.
  • r, 0’a yakın: doğrusal bir ilişki yok.

r, eğim b ile aynı işaretlidir. Karesi r², y'deki değişimin doğrunun açıkladığı kesridir.

Güçlü bir korelasyon x'in y'ye yol açtığını kanıtlamaz. İkisi de üçüncü bir niceliğe bağlı olabilir.

Kendini sına Otomobil yaşı x ve fiyatı y için r = −0,95. Bu size ne söyler?
  1. Eski otomobiller daha pahalıdır
  2. Güçlü düşen bir doğrusal ilişki
  3. Hesap yanlıştır, çünkü r negatiftir
  4. Zayıf bir ilişki

Cevap: Güçlü düşen bir doğrusal ilişki. −1’e yakın r, noktaların düşen bir doğruya yakın olduğu anlamına gelir: yaş arttıkça fiyat düşer. Negatif r tamamen geçerlidir; yalnızca −1 ile 1 dışındaki değerler imkânsızdır.

4Adım adım yöntem

  1. x̄ ve ȳ ortalamalarını hesaplayın.
  2. x − x̄, y − ȳ, çarpımları ve (x − x̄)² sütunlarıyla bir tablo yapın. r isteniyorsa (y − ȳ)² ekleyin.
  3. Sxy, Sxx ve Syy’yi bulmak için sütunları toplayın.
  4. Eğim b = Sxy/Sxx, sonra kesişim a = ȳ − b · x̄.
  5. Korelasyon r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Tahmin: x’i ŷ = a + bx içine koyun. Artık: e = y − ŷ.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Beş çift ölçülüyor: x = 1, 2, 3, 4, 5 ve y = 3, 5, 6, 8, 8. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i bulun ve x = 6 için ŷ’yı tahmin edin.

1

Ortalamalar

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Sapmalar

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Toplamlar

Çiftleri çarpın: 6, 1, 0, 2, 4. x sapmalarının karesini alın: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Eğim ve kesişim

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Kesikli çizgiler artıklardır. Küçüktürler, yani doğru iyi uyar.

5

Tahmin edin

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Kontrol: doğru ortalamalar noktasından geçer, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Cevap

ŷ = 2,1 + 1,3x ve x = 6 için tahmin ŷ = 9,9’dur.

6Sık yapılan hatalar

  • Artığı y − ŷ yerine ŷ − y olarak hesaplamak.
  • Eğim için Sxx yerine Syy’ye bölmek.
  • a ile b’yi karıştırmak: eğim x ile çarpılır.
  • r’nin eğimle aynı işaretli olduğunu unutmak.
  • Verilerin aralığının çok dışında tahmin yapmak. Doğru orada geçerli olmayabilir.
Kendini sına Doğru ŷ = 2,1 + 1,3x’tir. Yeni bir nokta (6, 8) ölçülüyor. Artığı nedir?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Cevap: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, yani e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Nokta doğrunun altındadır. 1,9, tersine ŷ − y hesaplar.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: eğim ve kesişim. Bir tabloda beş çift; en küçük kareler doğrusunun b veya a değerini bulun.
  • Orta: korelasyon katsayısı r, verilerden veya verilen toplamlardan.
  • Zor: tahmin. Doğruyu yeni bir x için ŷ’yı tahmin etmek veya yeni bir gözlemin artığını bulmak için kullanın.

Hızlı bir kontrol: b ve r’nin işareti saçılım grafiğinin yönüyle uyuşmalıdır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xy2441262082210301235xy510102030

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Kesişim a değerini bulun.

n = 6

İstenen: a

İpuçlarını göster
  1. Önce eğim b = Sxy/Sxx’i bulun.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. Doğru (x̄, ȳ)’den geçer, dolayısıyla a = ȳ − b·x̄.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Eğim

b = 211/70 = 3,014

Kesişim noktası

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Cevap

a = −0,6
Örnek 2Orta
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

İstenen: r

İpuçlarını göster
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Korelasyon katsayısı

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Cevap

r = 0,9746
Örnek 3Zor
xy123221318412513xy241520x = 1,5

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 1,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 1,5

İstenen: ŷ

İpuçlarını göster
  1. Önce en küçük kareler doğrusunu bulun: b = Sxy/Sxx ve a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regresyon doğrusu

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Tahmin

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Cevap

ŷ = 21,75

Sorular ve cevaplar

Doğrusal regresyon ve korelasyon nedir?

Her olgu için iki nicelik ölçersiniz; örneğin x = çalışılan saat ve y = sınav puanı. Her çift bir saçılım grafiğinde bir noktadır.

Noktalar kabaca bir doğru boyunca uzanıyorsa, onları bir doğruyla tanımlayabilir ve x’ten y’yi tahmin etmek için kullanabilirsiniz. Bu doğrusal regresyondur.

Doğrusal regresyon ve korelasyon soruları adım adım nasıl çözülür?

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Doğrusal regresyon ve korelasyon konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Kesişim a = ȳ − b·x̄’dir: doğru (x̄, ȳ)’den geçer.
  • ȳ, doğrunun x = 0’daki değil, x = x̄’deki yüksekliğidir. a = ȳ − b·x̄ kullanın.
  • Kovaryansta ve iki standart sapmada da aynı böleni (n veya n − 1) kullanın. Sxy, Sxx ve Syy ile bölenler sadeleşir.
Doğrusal regresyon ve korelasyon alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: eğim ve kesişim
  • Orta: korelasyon katsayısı
  • Zor: tahmin

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Betimsel istatistik

Hesaplayıcılar

Doğrusal regresyon hesaplayıcıKorelasyon katsayısı hesaplayıcı (Pearson ve Spearman)

Bu konuyu içeren dersler

Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistikİstatistiğe Girişİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistikAP Statistics alıştırma sorularıCFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Doğrusal regresyon ve korelasyon çalışma kâğıdı
Doğrusal regresyon ve korelasyon konusunu ücretsiz çalışınDoğrusal regresyon ve korelasyon konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.