Güven aralıkları: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: güven aralığı · aralık tahmini

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Güven aralıkları alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: z aralığı, t aralığı, örneklem büyüklüğü.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Rastgele seçilmiş 100 seçmenle yapılan bir ankette 55 kişi bir öneriyi destekliyor. Destekleyenlerin oranı için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 100x = 5590%
Sonraki soru →
Güven aralıkları konusunu ücretsiz çalışınGüven aralıkları konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayz aralığı
  2. Ortat aralığı
  3. Zorörneklem büyüklüğü

Güven aralıkları soruları nasıl çözülür

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Sık yapılan hatalar

  • √n’ye bölmeyi unutmak.
  • Örneklem küçük ve σ bilinmiyorken z kullanmak.
  • Örneklem büyüklüğünü yukarı yerine aşağı yuvarlamak.

Temel formüller

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Güven aralıkları konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Normal dağılım

1Güven aralığı nedir?

Tüm bir anakütlenin ortalaması μ’yü istiyorsunuz; örneğin bir fabrikanın ürettiği tüm pillerin ortalama ömrü. Hepsini sınayamazsınız, bu yüzden n pillik bir örneklemi sınarsınız.

Örneklem ortalaması x̄, μ için en iyi tahminizdir, ama başka bir örneklem biraz farklı bir x̄ verirdi. Tek bir sayı bu belirsizliği gizler.

Bir güven aralığı bunun yerine bir aralık verir: x̄ eksi bir pay, x̄ artı bir paya kadar.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

%95’lik bir güven aralığı, tüm örneklemlerin %95’inde gerçek μ’yü yakalayan bir yöntemle oluşturulur. Daha yüksek güven düzeyi daha geniş bir aralık verir.

Kendini sına Aynı örneklemden %90’lık ve %99’luk güven aralığı hesaplıyorsunuz. Hangisi daha geniştir?
  1. %90’lık aralık
  2. %99’luk aralık
  3. Örneklem ortalamasına bağlıdır
  4. İkisi de eşit genişlikte

Cevap: %99’luk aralık. Aralığın μ’yü içerdiğinden daha emin olmak için daha geniş olması gerekir. %99’luk kritik değer 2,576, %90’lık değer 1,645’ten büyüktür.

2z aralığı

Anakütle standart sapması σ bilindiğinde aralık şudur:

x̄ ± z · σ / √n

σ/√n terimi standart hatadır: x̄’nin örneklemden örnekleme ne kadar değiştiği. Daha büyük bir örneklem daha küçük standart hata verir.

Kritik değer z güven düzeyine bağlıdır. Şu üçünü öğrenin:

  • %90: z = 1,645
  • %95: z = 1,96
  • %99: z = 2,576

Hata payı E = z · σ/√n’dir. Aralık x̄ − E’den (alt sınır) x̄ + E’ye (üst sınır) uzanır.

Kendini sına 64 elemanlı bir örneklemin ortalaması 55’tir. Anakütle σ’sı 12’dir. %95’lik güven aralığının üst sınırı nedir?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Cevap: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, yani üst sınır 57,94’tür. √n’yi unutmak 78,52 verir; 57,47 ise %90’lık değer 1,645’i kullanır.

3t aralığı ve örneklem büyüklüğü

Genellikle σ bilinmez. O zaman örneklem standart sapması s’yi kullanırsınız ve kritik değer t dağılımından gelir:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Serbestlik derecesi sd, n − 1’dir. t değeri z’den büyüktür, bu yüzden aralık daha geniştir: s’deki ek belirsizliği hesaba katar. Büyük n için t, z’ye yaklaşır.

%95’te: sd = 9 için t = 2,262, sd = 15 için t = 2,131 ve sd = 29 için t = 2,045.

Bazen örneklem büyüklüğünü planlamanız gerekir: en çok E kadar bir hata payı için n ne kadar büyük olmalıdır? E = zσ/√n eşitliğini n için çözün:

n = (z · σ / E)²

Her zaman bir sonraki tam sayıya yukarı yuvarlayın. Aşağı yuvarlamak E’den biraz büyük bir hata payı verirdi.

Kendini sına σ = 13. En çok 2 hata paylı %95’lik bir aralık için örneklem ne kadar büyük olmalıdır?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Cevap: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, yukarı yuvarlanınca 163. 162’ye aşağı yuvarlamak 2’nin hemen üstünde bir hata payı verir; 13 ise karesini almayı unutur.

4Adım adım yöntem

  1. n, x̄ ve σ veya s değerlerini yazın.
  2. z (σ biliniyorsa) veya sd = n − 1 ile t (yalnızca s biliniyorsa) seçin.
  3. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  4. Standart hatayı hesaplayın: σ/√n veya s/√n.
  5. Hata payı: E = kritik değer × standart hata.
  6. Aralık: x̄ − E’den x̄ + E’ye. İstenen sınırı verin.

Örneklem büyüklüğü sorusu için: n = (zσ/E)², yukarı yuvarlanır.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

16 elemanlı bir örneklemin ortalaması 40 ve standart sapması s = 6’dır. Anakütle yaklaşık normaldir. Ortalama için %95’lik güven aralığını bulun.

1

z mi, t mi?

Yalnızca örneklem standart sapması s bilinir, σ bilinmez. Bu yüzden sd = n − 1 = 15 ile t kullanın.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Standart hata

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Hata payı

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Aralık

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Cevabı kontrol edin

z = 1,96 ile hata payı 2,94 olurdu. t aralığı biraz daha geniştir; σ bilinmediğinde böyle olmalıdır.

Cevap

%95’lik güven aralığı [36,80; 43,20]’dir.

6Sık yapılan hatalar

  • √n’ye bölmeyi unutmak.
  • Örneklem küçük ve σ bilinmiyorken z kullanmak.
  • t için sd = n − 1 yerine sd = n kullanmak.
  • %95’lik bir aralık için %90’lık değer 1,645’i kullanmak.
  • Örneklem büyüklüğünü yukarı yerine aşağı yuvarlamak.
Kendini sına n = 10 olan bir örneklemin standart sapması s = 5’tir. σ bilinmiyor. %95’lik bir aralık için hangi kritik değeri kullanırsınız?
  1. t = 2,228 (sd = 10)
  2. t = 2,262 (sd = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Cevap: t = 2,262 (sd = 9). σ bilinmiyor, bu yüzden sd = n − 1 = 9 ile t kullanın. z kullanmak s’deki belirsizliği yok sayar; sd = 10 ise eksi birini unutur.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: bir z aralığı. σ bilinir; alt veya üst sınırı bulun.
  • Orta: bir t aralığı. Yalnızca s verilir; n − 1 serbestlik derecesi için t değeri verilir veya tablodan gelir.
  • Zor: örneklem büyüklüğü. Verilen bir hata payı için en küçük n’yi bulun ve yukarı yuvarlayın.

Hızlı bir kontrol: örneklem ortalaması her zaman tam olarak aralığın ortasındadır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

200 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 174,5. Anakütle standart sapmasının 30 olduğu biliniyor. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

İstenen: üst sınır

İpuçlarını göster
  1. σ biliniyor, bu yüzden z kritik değerini kullanın.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Hata payı

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Aralık

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Cevap

üst sınır = 178
Örnek 2Orta
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 7,8. Aynı çalışma bunun yerine 100 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

İstenen: E₂

İpuçlarını göster
  1. E = z·σ/√n ve σ aynı kalır.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Yeni hata payı

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Cevap

E₂ = 5,515
Örnek 3Zor
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

İşlenmiş 21 milin çaplarının örneklem standart sapması 1,2 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 20 ile χ² dağılımının %2,5’i 9,591 değerinin altında, %2,5’i 34,17 değerinin üstündedir.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

İstenen: σ (µm)

İpuçlarını göster
  1. Normal bir anakütlede (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına uyar.
  2. σ² için aralık: (n − 1)s²/34,17 ile (n − 1)s²/9,591 arası. σ için karekök alın.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

σ² için sınırlar

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

σ için sınır

σ = √3,003 = 1,733 µm

Cevap

σ = 1,733 µm

σ için %95 aralık: [0,9181, 1,733] µm.

Sorular ve cevaplar

Güven aralıkları nedir?

Tüm bir anakütlenin ortalaması μ’yü istiyorsunuz; örneğin bir fabrikanın ürettiği tüm pillerin ortalama ömrü. Hepsini sınayamazsınız, bu yüzden n pillik bir örneklemi sınarsınız.

Örneklem ortalaması x̄, μ için en iyi tahminizdir, ama başka bir örneklem biraz farklı bir x̄ verirdi. Tek bir sayı bu belirsizliği gizler.

Güven aralıkları soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.
Güven aralıkları konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • √n’ye bölmeyi unutmak.
  • Örneklem küçük ve σ bilinmiyorken z kullanmak.
  • Örneklem büyüklüğünü yukarı yerine aşağı yuvarlamak.
Güven aralıkları alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: z aralığı
  • Orta: t aralığı
  • Zor: örneklem büyüklüğü

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Normal dağılım

Sonra devam edin

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Hesaplayıcılar

Güven aralığı hesaplayıcıÖrneklem büyüklüğü hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistikİstatistiğe Girişİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistikKanıta Dayalı UygulamaAP Statistics alıştırma sorularıCFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Güven aralıkları çalışma kâğıdı
Güven aralıkları konusunu ücretsiz çalışınGüven aralıkları konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.