Matrisler ve determinantlar: adım adım çözümlü alıştırma soruları
Diğer adları: determinant · ters matris · matris işlemleri
Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Matrisler ve determinantlar alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: 2×2 determinant, 3×3 ve çarpımlar, özdeğerler ve sistemler.
Matrisler ve determinantlar konusunu sıfırdan öğrenin
1Matrisler ve 2×2 determinant
Matris, satır ve sütunlardaki bir sayı tablosudur. 2 satırlı ve 3 sütunlu bir matrise 2×3 matris denir: önce satırlar, sonra sütunlar.
Mühendisler birçok denklemi aynı anda yazmak için matris kullanır. 2x + y = 5 ve x − y = 1 sistemi, katsayılarının [2 1; 1 −1] matrisi olarak saklanır.
Kare bir matrisin özel bir sayısı vardır, determinantı, det A yazılır. 2×2 matris için bir köşegenin çarpımı eksi diğerinin çarpımıdır.
det A = a·d − b·c
[3 1; 2 4] için determinant 3·4 − 1·2 = 10’dur.
det A = 0 ise matrisin tersi yoktur ve denklem sisteminin tek bir çözümü yoktur.
Kendini sına [4 2; 3 5] matrisinin determinantı nedir? (1. satır 4 2, 2. satır 3 5.)
- 14
- 26
- 9
- −14
Cevap: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. İki çarpımı toplamak 26, bc − ad almak −14 verir.
23×3 determinantlar ve çarpımlar
3×3 bir matris için ilk satır boyunca açın. Her eleman, minörüyle çarpılır: o elemanın satırı ve sütunu çizildiğinde kalan 2×2 determinant.
det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13
İşaretler ilk satır boyunca + − + gider. Bu işaret örüntüsü en kolay unutulan kısımdır.
Matris çarpımı AB, A’nın satırlarından ve B’nin sütunlarından oluşur. i. satır, j. sütundaki eleman, A’nın i. satırı çarpı B’nin j. sütunudur: çiftleri çarpıp toplayın.
[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]
Çarpım yalnızca A’nın sütun sayısı B’nin satır sayısına eşitse vardır. Genelde AB, BA ile aynı değildir.
Kendini sına A = [2 1; 0 3] ve B = [1 4; 2 1]. AB’nin 1. satır, 2. sütunundaki eleman nedir?
- 13
- 4
- 6
- 9
Cevap: 9. A’nın 1. satırı (2, 1) ve B’nin 2. sütunu (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Yalnızca karşılıklı elemanları çarpmak 1·4 = 4 verir ve 13, BA’nın elemanıdır.
3Özdeğerler ve sistemler
A’nın bir özdeğeri λ, bir v ≠ 0 vektörü için A·v = λ·v olan bir sayıdır. Matris o vektörü yalnızca uzatır, döndürmez.
Özdeğerleri karakteristik denklemden bulursunuz. Burada I, [1 0; 0 1] birim matristir.
det(A − λI) = 0
2×2 matris için bu bir ikinci derece denkleme dönüşür. Orta katsayısı iz a + d, sabiti det A’dır:
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0
[4 1; 2 3] için: λ² − 7λ + 10 = 0, yani (λ − 2)(λ − 5) = 0 ve özdeğerler 2 ile 5’tir.
Cramer kuralı bir sistemi determinantlarla çözer. A’nın i. sütununu sağ yanla değiştirerek Ai’yi elde edin, sonra xi = det Ai / det A.
2x + y = 5 ve x − y = 1 için: det A = −3 ve det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, yani x = −6/−3 = 2.
Kendini sına [2 1; 1 2] matrisinin büyük özdeğeri nedir?
- 1
- 2
- 3
- 4
Cevap: 3. λ² − 4λ + 3 = 0, (λ − 1)(λ − 3) = 0 verir; özdeğerler 1 ve 3’tür. 4, özdeğerlerin toplamı olan izdir, özdeğerlerden biri değil.
4Adım adım yöntem
- Matrisi her eksi işaretiyle dikkatle kopyalayın.
- 2×2 determinant: ad − bc.
- 3×3 determinant: ilk satırın her elemanı için satırını ve sütununu çizin ve 2×2 minörü bulun.
- + − + işaretleriyle birleştirin: a11M11 − a12M12 + a13M13.
- Özdeğerler: λ² − (a + d)λ + det A = 0 yazın ve ikinci derece denklemi çözün.
- Kontrol: sıfırlardan oluşan bir satır ya da iki eşit satır her zaman det A = 0 verir.
İpucu: çok sıfır içeren bir satır ya da sütun boyunca açın. Her sıfır eleman bir minör kazandırır.
5Çözümlü bir örnek
Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.
Çözümlü örnekA = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4] 3×3 matrisinin determinantını bulun.
12 elemanının 1. satırını ve 1. sütununu çizin. Kalan [3 1; 2 4]’tür.
M11 = 3·4 − 1·2 = 10
21 elemanının 1. satırını ve 2. sütununu çizin. Kalan [1 1; 0 4]’tür.
M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3a13 elemanı 0’dır, bu yüzden minör ne olursa olsun terimi 0’dır. Atlayabilirsiniz.
4det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
53×3 matrisler için Sarrus kuralı aynı değeri verir: üç “aşağı” köşegen çarpımı eksi üç “yukarı” köşegen çarpımı.
(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
6Sık yapılan hatalar
- 3×3 açılımında orta terim için eksi işaretini unutmak.
- ad − bc yerine bc − ad hesaplamak.
- Bir eleman negatifken eksi işaretini kaybetmek: −2 · −3, +6’dır.
- Matrisleri satır çarpı sütun yerine eleman eleman çarpmak.
- Karakteristik denklemi çözmek yerine izi ya da bir köşegen elemanını özdeğer saymak.
Kendini sına [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2] matrisinin determinantı nedir?
- 10
- 14
- −10
- −14
Cevap: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Orta terim için + kullanmak 2 + 12 = 14 verir; en sık yapılan hata.
7Sınav soruları nasıl görünür
- Kolay: çoğu zaman negatif elemanlı bir 2×2 matrisin determinantı. ad − bc kullanın.
- Orta: bir 3×3 determinant ya da matris çarpımı. + − + ile ilk satır boyunca açın.
- Zor: 2×2 matrisin özdeğerleri ya da Cramer kuralıyla bir 2×2 sistemin bir bilinmeyeni.
Özdeğerler için hızlı kontrol: toplamları a + d izine, çarpımları det A’ya eşit olmalıdır.
Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin