Betimsel istatistik: adım adım çözümlü alıştırma soruları
Diğer adları: tanımlayıcı istatistik · aritmetik ortalama · standart sapma · medyan
Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Betimsel istatistik alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: ortalama ve medyan, standart sapma, normal dağılım.
Betimsel istatistik, veri denen bir sayı listesini birkaç değerle özetler. İlk soru şudur: merkez nerede?
Ortalama sıradan ortalamadır: tüm değerleri toplayın ve kaç tane olduklarına, yani n’ye bölün.
x̄ = Σx / n
Σ simgesi “hepsini topla” demektir ve x̄ “x çizgi” diye okunur. 3, 5 ve 10 için ortalama 18/3 = 6’dır.
Ortanca, veriyi küçükten büyüğe sıraladıktan sonra ortadaki değerdir.
Tek n: ortanca tek ortadaki değerdir. 3, 5, 10 için 5’tir.
Çift n: ortanca, ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
Tek bir uç değer, yani bir aykırı değer, ortalamayı kendine doğru çeker ama ortancayı pek oynatmaz. Gelirler bu yüzden çoğu zaman ortancayla özetlenir.
Cevap: 21. Sıralı: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Ortadaki iki değer 20 ve 22’dir, yani ortanca 21’dir. 25,5, sıralanmamış listenin ortasını almaktan gelir; 22 ise ortalamadır.
2Yayılım: standart sapma
İki veri kümesinin ortalaması aynı ama yayılımı çok farklı olabilir. Standart sapma s, değerlerin ortalamadan tipik olarak ne kadar uzakta olduğunu ölçer.
Her değerin bir sapması x − x̄ vardır. Sapmaların toplamı sıfırdır, bu yüzden önce karesini alırsınız; bu hepsini pozitif yapar.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Bu örneklem standart sapmasıdır: n’ye değil, n − 1’e bölersiniz. s’nin karesine varyans denir.
2, 4 ve 6 için: ortalama 4, sapmalar −2, 0 ve 2, kareler toplamı 8, 8/2 = 4 ve s = √4 = 2.
Kendini sına 2, 4 ve 6’nın örneklem standart sapması nedir?
0
1,633
2
4
Cevap: 2. Σ(x − x̄)² = 8, n − 1 = 2’ye bölününce 4 ve √4 = 2. n = 3’e bölmek 1,633 verir; 4 karekökü unutur, 0 ise karesi alınmadan önceki sapmaların toplamıdır.
3z puanları ve normal dağılım
Boy veya sınav puanı gibi birçok ölçüm çan biçimli bir eğriyi izler: normal dağılım. Merkezi ortalama μ, genişliği standart sapma σ’dır.
Bir z puanı, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler:
z = (x − μ) / σ
μ = 70 ve σ = 10 iken 74 puanının z = 4/10 = 0,4’tür. Negatif z, değerin ortalamanın altında olduğu anlamına gelir.
μ = 50 ve σ = 5 iken 60 değerinin z = 2’dir. Yaklaşık %95’i 40 ile 60 arasındadır, yani yaklaşık %2,5’i 60’ın üstündedir. Bir z tablosu tam değer olan 0,0228’i verir.
Kendini sına IQ puanları μ = 100 ve σ = 15 ile normaldir. İnsanların yaklaşık yüzde kaçı 115’in üstünde puan alır?
16%
32%
34%
68%
Cevap: 16%. 115, ortalamanın 1σ üstündedir. %68’i 1σ içindedir, yani %32’si dışındadır ve iki kuyruğa eşit bölünür: %16’sı üstte. %32 iki kuyruğu bölmeyi unutur.
4Adım adım yöntem
Veriyi bir satıra yazın ve n’yi sayın.
Ortalama: her şeyi toplayın ve n’ye bölün.
Ortanca: önce sıralayın, sonra ortadaki değeri veya ortadaki iki değerin ortalamasını alın.
Standart sapma: her değerden ortalamayı çıkarın, karesini alın, toplayın, n − 1’e bölün, karekökünü alın.
z puanı: μ’yü çıkarın, σ’ya bölün. Sonra bir oran için 68–95–99,7 kuralını veya bir z tablosunu kullanın.
x, x − x̄ ve (x − x̄)² sütunlu bir tablo, standart sapma hesabını düzenli tutar.
5Çözümlü bir örnek
Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.
Çözümlü örnek
4, 8, 6, 5, 7 verisinin ortalamasını, ortancasını ve örneklem standart sapması s’yi bulun.
1
Ortalama
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Ortanca
Sıralı: 4, 5, 6, 7, 8. n = 5 olduğundan ortadaki değer üçüncüsüdür.
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalamadan her sapmanın karesini alın, toplayın, n − 1'e bölün ve karekökünü alın.
x̄ = 37,71.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 36'ün altındadır?
μ = 60σ = 12x = 36
İstenen: P
İpuçlarını göster
Önce z puanına çevirin.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Φ(z)'yi standart normal tablodan okuyun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Cevap
P = 0,02275
Sorular ve cevaplar
Betimsel istatistik nedir?
Betimsel istatistik, veri denen bir sayı listesini birkaç değerle özetler. İlk soru şudur: merkez nerede?
Σ simgesi “hepsini topla” demektir ve x̄ “x çizgi” diye okunur. 3, 5 ve 10 için ortalama 18/3 = 6’dır.
Betimsel istatistik soruları adım adım nasıl çözülür?
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Betimsel istatistik alıştırmaları neleri kapsar?
Kolay: ortalama ve medyan
Orta: standart sapma
Zor: normal dağılım
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
Çalışma nasıl işler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.