Kümeler, bağıntılar ve fonksiyonlar: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Kümeler ve küme işlemleri

Küme, birbirinden farklı elemanların topluluğudur: A = {1, 2, 3}. Sıra ve tekrar önemli değildir. |A| eleman sayısıdır, U ise söz konusu her şeyi içeren evrensel kümedir.

• A ∪ B (birleşim): A’da veya B’de ya da her ikisinde olan elemanlar.
• A ∩ B (kesişim): her ikisinde de olan elemanlar.
• A − B (fark): A’nın B’de olmayan elemanları.
• A′ (tümleyen): U’nun A’da olmayan elemanları.

Bir Venn şemasında iki daire U’yu dört bölgeye ayırır: yalnız A, ikisi birden, yalnız B ve hiçbiri. Her küme ifadesi bu bölgelerin bazılarının birleşimidir; bu yüzden onu her zaman bölge bölge sayabilirsiniz.

Burada |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 ve |(A ∪ B)′| = 15.

2Dahil etme–dışarıda bırakma ile sayma

|A| ile |B|’yi toplamak kesişimi iki kez sayar; bu yüzden onu bir kez çıkarın:

Üç küme için ikili kesişimler çıkarılır, ama o zaman merkez üç kez çıkarılmış olur; bu yüzden geri eklenir:

Sözel problemlerde bir Venn şemasını ortadan dışa doğru doldurmak genellikle daha güvenlidir: önce üç kümede birden olan elemanlar, sonra her ikili kesişim eksi merkez, sonra her tek küme eksi şimdiden yerleştirilenler.

Sık karşınıza çıkan iki sayım daha vardır: n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır (kuvvet kümesi 𝒫(A)) ve |A × B| = |A|·|B| sıralı çift vardır.

3Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

4Bağıntılar

Bir X kümesi üzerindeki bir bağıntı R, x ve y’nin X’te olduğu sıralı (x, y) çiftlerinin kümesidir. Yönlü bir graf olarak çizildiğinde her çift bir oktur ve (x, x) bir döngüdür.

• Yansıyan: her x için (x, x) ∈ R: her köşede bir döngü.
• Simetrik: (x, y) ∈ R her zaman (y, x) ∈ R ile birlikte gelir.
• Ters simetrik: (x, y) ve (y, x) yalnızca x = y olduğunda birlikte R’dedir.
• Geçişli: R’deki (x, y) ve (y, z), (x, z) ∈ R’yi zorunlu kılar.

Yansıyan, simetrik ve geçişli bir bağıntı bir denklik bağıntısıdır. X’i, “x ≡ y (mod 3)” için 0, 1 ve 2 kalanları gibi ayrık sınıflara böler. s elemanlı bir sınıf s² sıralı çift katkı yapar.

Bir özelliği çürütmek için tek bir karşı örnek yeter; kanıtlamak için her çifti denetleyin.

5Fonksiyonlar

Bir f: A → B fonksiyonu A’nın her elemanına B’de tam olarak bir görüntü verir.

• Birebir: farklı elemanların görüntüleri farklıdır; B’nin hiçbir elemanı iki ok almaz.
• Örten: B’nin her elemanı en az bir ok alır.
• Eşleme (birebir ve örten): ikisi birden. f’nin tersi f⁻¹ ancak o zaman vardır.

Şekildeki fonksiyon birebirdir ama örten değildir: d hiç ok almaz. Birebir bir fonksiyon |A| ≤ |B|, örten bir fonksiyon |A| ≥ |B| gerektirir.

|A| = m ve |B| = n iken nᵐ fonksiyon ve n!/(n − m)! birebir fonksiyon vardır. Bileşke (g ∘ f)(x) = g(f(x)) önce f’yi uygular.

6Sık yapılan hatalar

• |A| + |B|’yi kesişimi çıkarmadan toplamak.
• Üç kümeli dahil etme–dışarıda bırakmada merkezi geri eklemeyi unutmak.
• m elemandan n elemana giden fonksiyonların sayısı için nᵐ yerine mⁿ yazmak.
• Bir bağıntının hem simetrik hem ters simetrik olamayacağını düşünmek: {(1, 1)} bağıntısı ikisidir de.
• g ∘ f’yi yanlış sırayla uygulamak: önce f etki eder.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: Venn şemaları ve alt kümeler. Bir Venn şemasından bir küme ifadesini sayar, bir ifadenin bölgesine tıklar ya da bir kuvvet kümesinin, bir kartezyen çarpımın veya bir alt küme ailesinin büyüklüğünü bulursunuz.
• Orta: dahil etme–dışarıda bırakma ve bağıntılar. İki ve üç kümeli sayma problemlerini çözer, bölge toplamlarından ifadeleri sayar, bir bağıntının hangi özelliğe sahip olduğuna karar verir ya da bir kapanış için gereken çiftleri sayarsınız.
• Zor: fonksiyonlar ve sayma. Bir fonksiyonu birebir, örten ya da eşleme olarak sınıflandırır, fonksiyonları, birebirleri ve örtenleri sayar, bileşkeleri ve tersleri hesaplar, denklik bağıntılarındaki çiftleri sayarsınız.