Limitler: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: limit hesaplama · L’Hospital kuralı · belirsizlik durumları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Limitler alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: doğrudan yerine koyma ve çarpanlara ayırma, sonsuzdaki limitler, L'Hôpital kuralı.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
xy9x = 9

L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9) limitini bulun.

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
Sonraki soru →
Limitler konusunu ücretsiz çalışınLimitler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaydoğrudan yerine koyma ve çarpanlara ayırma
  2. Ortasonsuzdaki limitler
  3. ZorL'Hôpital kuralı

Temel formüller

Doğrudan yerine koyma
önce x = a deneyin; 0/0 sadeleştirmeniz gerektiği anlamına gelir
Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Eşlenik
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Sonsuzdaki limitler
x’in en yüksek kuvvetine bölün; dereceler eşitse sonuç baş katsayıların oranıdır
Özel limit
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
L'Hôpital kuralı
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Limitler konusunu sıfırdan öğrenin

1Limit nedir

Limit, x bir sayıya yaklaşırken bir fonksiyonun yaklaştığı değeri anlatır. Tam o sayıda ne olduğu önemli değildir.

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) alın. x = 1’de değeri olmayan 0/0 elde edersiniz. Ama 1’e yakın sayıları deneyebilirsiniz.

  • x = 0,9 için f = 1,9.
  • x = 0,99 için f = 1,99.
  • x = 1,01 için f = 2,01.

Değerler giderek 2’ye yaklaşıyor. Şöyle yazarız:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

Grafik, tek bir noktası eksik bir doğrudur: (1, 2)’de bir delik. Limit, deliğin yüksekliğidir.

Kendini sına Bir g fonksiyonu için g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 ve g(3,01) = 6,01. x = 3’te tanımlı değil. x → 3 iken limit nedir?
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. Yoktur, çünkü g(3) tanımlı değil

Cevap: 6. Değerler iki taraftan da 6’ya yaklaşır, yani limit 6’dır. Limit yalnızca x = 3 yakınındaki değerlere bakar, hiçbir zaman x = 3’ün kendisine değil.

2Yerine koyma, 0/0 ve çarpanlara ayırma

Önce her zaman doğrudan yerine koymayı deneyin: sayıyı koyun. Sıradan bir sayı çıkarsa limit odur.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

0/0 çıkarsa işiniz bitmedi. 0/0’a belirsiz biçim denir: cevap değil, sadeleştirme işaretidir.

Genellikle pay ve payda, o noktada sıfır olan ortak bir çarpanı paylaşır. İkisini de çarpanlarına ayırın, ortak çarpanı sadeleştirin, sonra tekrar yerine koyun.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

Yani x → 3 iken limit 3 + 3 = 6’dır. Yararlı çarpanlara ayırma kalıpları:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • x² − x − 30 gibi bir ikinci derece ifade (x − 6)(x + 5) olarak çarpanlarına ayrılır: çarpımı −30 ve toplamı −1 olan iki sayı bulun.

Karekök varsa pay ve paydayı eşleniğiyle çarpın: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

Kendini sına limx→2 (x² − 4)/(x − 2) nedir?
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. Yoktur, çünkü 0/0 çıkar

Cevap: 4. Yerine koymak 0/0 verir, o halde çarpanlara ayırın: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, bu x = 2’de 4’tür. 0/0’da durmak “yoktur” cevabının ardındaki hatadır.

3Sonsuzdaki limitler ve L’Hôpital kuralı

x → ∞, x’in sınırsız büyümesi demektir. Polinomların kesri için x çok büyükken yalnızca en yüksek kuvvetler önemlidir.

Her terimi paydadaki x’in en yüksek kuvvetine bölün. 4/x ve 7/x² gibi terimler 0’a gider.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • Pay ve paydada aynı en yüksek kuvvet: limit başkatsayıların oranıdır.
  • Paydada daha yüksek kuvvet: limit 0’dır.
  • Payda (üstte) daha yüksek kuvvet: kesir sınırsız büyür, yani sonlu limit yoktur.

√(x² + 6x) − x için eşleniğiyle çarpın. 6x/(√(x² + 6x) + x) elde edersiniz; bu 6/(1 + 1) = 3’e gider.

L’Hôpital kuralı: yerine koymak 0/0 ya da ∞/∞ veriyorsa payı ve paydayı, her birini kendi başına, türevleriyle değiştirebilirsiniz.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

Yine 0/0 çıkarsa kuralı bir kez daha uygulayın. Trigonometrik limitler her zaman x’i radyan olarak kullanır.

Kendini sına limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x) nedir?
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

Cevap: 2. En yüksek kuvvetler eşittir (x²), bu yüzden limit başkatsayıların oranıdır: 4/2 = 2. ½ ters bölmekten gelir.

4Adım adım yöntem

  1. Sayıyı yerine koyun. Sıradan bir sayı cevaptır.
  2. 0/0 çıkarsa payı ve paydayı çarpanlara ayırın ya da kök varsa eşleniğiyle çarpın.
  3. Ortak çarpanı sadeleştirin ve tekrar yerine koyun.
  4. x → ∞ ise her terimi x’in en yüksek kuvvetine bölün ve a/x gibi terimlerin 0’a gitmesine izin verin.
  5. Çarpanlara ayırma işe yaramıyorsa (eˣ, sin, cos, ln), 0/0 veya ∞/∞ biçiminde L’Hôpital kuralını kullanın.
  6. Noktaya çok yakın bir sayıyla kontrol edin, örneğin x = 1,001.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2) değerini bulun.

1

Yerine koymayı deneyin

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

Bu 0/0 belirsiz biçimidir, bu yüzden önce sadeleştirmelisiniz.

2

Payı çarpanlarına ayırın

8 = 2³, yani pay a = 2 olan bir küpler toplamıdır.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

Ortak çarpanı sadeleştirin

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

Buna izin vardır, çünkü x yalnızca −2’ye yaklaşır; x + 2 hiçbir zaman tam 0 olmaz.

4

Tekrar yerine koyun

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

Cevabı kontrol edin

x = −1,99’u deneyin: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, bu 12’ye yakındır.

xy−212

Grafik, (−2, 12)’de bir deliği olan x² − 2x + 4 parabolüdür.

Cevap

L = 12

6Sık yapılan hatalar

  • 0/0’ı cevap olarak yazmak ya da limitin yok olduğunu söylemek. 0/0 şu demektir: önce sadeleştirin.
  • Yerine koymak 0/0 ya da ∞/∞ vermezken L’Hôpital kuralını kullanmak.
  • L’Hôpital kuralında bölüm kuralını kullanmak. Payın ve paydanın türevini ayrı ayrı alın.
  • Sonsuzda en yüksek kuvvetler yerine yazılı ilk terimleri karşılaştırmak.
  • sin ya da cos içeren limitlerde radyan yerine derece kullanmak.
Kendini sına limx→1 (x² + 1)/(x + 1) nedir?
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Yoktur

Cevap: 1. Yerine koymak 2/2 = 1 verir, sıradan bir sayı; bu yüzden limit odur. Burada L’Hôpital kullanmak (2x/1 = 2) yanlıştır, çünkü biçim 0/0 değildi.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: doğrudan yerine koyma ve çarpanlara ayırma. Yerine koymak 0/0 verir, sonra örnekteki gibi çarpanlara ayırıp sadeleştirirsiniz.
  • Orta: sonsuzdaki limitler. En yüksek kuvvete bölün ya da √(x² + 4x) − x gibi bir kök için eşleniği kullanın.
  • Zor: L’Hôpital kuralı; örneğin x → 0 iken (eˣ − 1 − x)/x² ya da (1 − cos 3x)/x². Kuralı iki kez kullanmanız gerekebilir.

Hızlı kontrol: hesap makinesiyle noktaya çok yakın bir sayı koyun. Sonuç cevabınıza yakın olmalıdır.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xyx = 1

L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1) limitini bulun.

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

İstenen: L

İpuçlarını göster
  1. Yerine koymak 0/0 verir. Payı çarpanlarına ayırın.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Doğrudan yerine koymayı deneyin

pay → 0 ve payda → 0, yani belirsizlik 0/0 biçimindedir.

Çarpanlarına ayırıp sadeleştirin

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Yerine koyun

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Cevap

L = 4

Bu, xⁿ’in x = a’daki türevidir: n·aⁿ⁻¹.

Örnek 2Orta
xyy = L

L = limx→∞ (1 + 1/x)x limitini bulun. Ondalık bir değer verin.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

İstenen: L

İpuçlarını göster
  1. Biçim 1^∞’dur. L = e^(ln L) yazın ve ln L’yi bulun.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. Küçük u için ln(1 + u) ≈ u. Burada u = 1/x.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Logaritma alın

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

Hesaplayın

u → 0 iken ln(1 + u)/u → 1, dolayısıyla x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Logaritmayı geri alın

L = e1 = 2,718

Cevap

L = 2,718
Örnek 3Zor
xyx = 0

x radyan cinsinden olmak üzere L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x) limitini bulun.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

İstenen: L

İpuçlarını göster
  1. x = 0’da: ln 1 = 0 ve sin 0 = 0, yani biçim 0/0’dır.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. f′/g′’de x = 0 koyun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

L'Hôpital kuralı

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

x = 0 koyun

L = 2/3 = 0,6667

Cevap

L = 0,6667

Sorular ve cevaplar

Limitler nedir?

Limit, x bir sayıya yaklaşırken bir fonksiyonun yaklaştığı değeri anlatır. Tam o sayıda ne olduğu önemli değildir.

Değerler giderek 2’ye yaklaşıyor. Şöyle yazarız:

Limitler soruları adım adım nasıl çözülür?

Limitler: önce doğrudan yerine koymayı deneyin. 0/0 verirse önce sadeleştirin: çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı sadeleştirin ya da eşlenikle çarpın. x → ∞ iken pay ve paydayı x’in en yüksek kuvvetine bölün. L'Hôpital kuralı: f/g 0/0 veya ∞/∞ veriyorsa lim f/g = lim f′/g′; pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır (bölüm kuralıyla değil).

Limitler konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • İkinci çarpanın her terimini tutun: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹) ve x = a’da n terimin hepsi eşittir.
  • 1^∞ biçimi belirsizdir, 1 değildir. Önce doğal logaritma alın.
  • Payın türevini üstte tutun: lim f/g = lim f′/g′.
Limitler alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: doğrudan yerine koyma ve çarpanlara ayırma
  • Orta: sonsuzdaki limitler
  • Zor: L'Hôpital kuralı

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Sonra devam edin

TürevlerDiziler ve seriler

Bu konuyu içeren dersler

Kalkülüs 1Mühendislik MatematiğiAP Calculus alıştırma soruları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

TürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Limitler çalışma kâğıdı
Limitler konusunu ücretsiz çalışınLimitler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.