Karmaşık sayılar: adım adım çözümlü alıştırma soruları
Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Karmaşık sayılar alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: dikdörtgen biçimde aritmetik, kutupsal ve üstel biçim, De Moivre, kökler ve denklemler.
Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
z₁ = 1 + j4 ve z₂ = 5 + j6 için w = 2z₁ + 5z̄₂ sayısının sanal kısmını bulun.
x² = −1 denkleminin gerçel çözümü yoktur. Mühendisler j² = −1 olan yeni bir j sayısı ekler. Matematikçiler i yazar; mühendislikte j kullanılır, çünkü i zaten akım anlamına gelir.
Bir karmaşık sayı z = a + jb biçimindedir. a sayısı gerçel kısım, b ise sanal kısımdır: Re(z) = a ve Im(z) = b.
z’yi Argand diyagramında (a, b) noktası olarak çizebilirsiniz: gerçel kısım yatay eksen boyunca, sanal kısım düşey eksen boyunca.
Cevap: 2. Bu, bir sayının eşleniğiyle çarpımıdır: 1² + 1² = 2. 1 − j²’yi 1 − 1 = 0 diye yazmak j² = −1 olduğunu unutmaktır; bu yüzden −j² = +1’dir.
3Kutupsal ve üstel biçim
Bir nokta uzaklığı ve açısıyla da verilebilir: z = r∠θ; r = |z| ve θ = arg z. Dikdörtgen biçime a = r cos θ ve b = r sin θ ile dönülür.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Son biçim Euler formülünü kullanır: ejθ = cos θ + j sin θ. Üstel biçimde θ radyan olmalıdır.
Bölgeye dikkat edin. Hesap makinesi atan(b/a) değerini −90° ile 90° arasında verir. a < 0 ise nokta soldadır; bu yüzden 180° ekleyin ya da çıkarın.
Örnek: z = −2 + j2. O zaman r = √8 = 2,828. Referans açı atan(2/2) = 45°’dir ve nokta ikinci bölgededir; dolayısıyla θ = 180° − 45° = 135°.
Kendini sına z = −1 − j sayısının −180° ile 180° arasındaki argümanı nedir?
135°
45°
−135°
−45°
Cevap: −135°. Nokta üçüncü bölgededir. Referans açı 45°’dir; dolayısıyla θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45°, karşı bölgeyi gösterir.
4Kutupsal biçimde çarpma, kuvvetler ve kökler
Kutupsal biçimde çarpma kolaydır: modülleri çarpın ve argümanları toplayın. Bölme için modülleri bölün ve argümanları çıkarın.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Bunu tekrarlamak De Moivre teoremini verir: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
zⁿ = R∠φ denkleminin tam olarak n kökü vardır. Hepsinin modülü R1/n’dir ve argümanları k = 0, 1, …, n − 1 için (φ + 360°·k)/n’dir.
z³ = 8 = 8∠0° için: modül 2’dir ve argümanlar 0°, 120° ve 240°’dir (yani −120°). Kökler çember üzerinde bir düzgün üçgen oluşturur.
p² < 4q olan z² + pz + q = 0 ikinci derece denkleminin karmaşık kökleri −p/2 ± j√(q − p²/4)’tür. Gerçel katsayılı polinomların karmaşık kökleri her zaman eşlenik çiftler hâlindedir.
5Çözümlü bir örnek
1 + j gibi sayıların kuvvetleri kutupsal biçimde, parantezleri açarak çarpmaktan çok daha hızlıdır.
Çözümlü örnek
(1 + j)6 sayısını De Moivre teoremiyle hesaplayın.
1
1 + j sayısını kutupsal biçimde yazın
r = √(1² + 1²) = √2. Nokta birinci bölgededir; dolayısıyla θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
De Moivre’i uygulayın
Modülün 6. kuvvetini alın ve açıyı 6 ile çarpın.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Açıyı aralığa getirin
270°, −90° ile aynı yöndür.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Dikdörtgen biçime dönün
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Cevap
(1 + j)6 = −j8: gerçel kısım 0, sanal kısım −8.
6Sık yapılan hatalar ve sınav soruları
Parantezleri açarken j² = −1 olduğunu unutmak; bir terim yanlış işaretle kalır.
Kısım kısım bölmek: (a + jb)/(c + jd), a/c + jb/d değildir. Eşleniği kullanın.
a < 0 iken argüman olarak atan(b/a) almak. Önce noktayı çizin.
ejθ’da derece kullanmak ya da dereceyle verilen r∠θ için hesap makinesini radyanda bırakmak.
De Moivre’de: modülün kuvvetini almayı unutmak ya da zⁿ = w denkleminin yalnızca bir kökünü vermek.
Kolay sorular bir çarpımın, bölümün ya da toplamın bir kısmını ister. Orta sorular dikdörtgen, kutupsal ve üstel biçim arasında dönüşüm yapar. Zor sorular De Moivre’i, n. kökleri ve polinom denklemlerini kullanır.
Kendini sına z₁ = 2∠30° ve z₂ = 4∠50°. z₁·z₂ nedir?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Cevap: 8∠80°. Modülleri çarpın (2·4 = 8) ve argümanları toplayın (30° + 50° = 80°). Modülleri toplamak 6 verir ve açıları çarpmanın anlamı yoktur.
z₁ = −7 + j ve z₂ = 4 + j2 için z₁·z₂ çarpımının gerçel kısmını bulun.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
İstenen: Re(z₁z₂)
İpuçlarını göster
Parantezleri (a + b)(c + d) gibi açın; dört terim elde edersiniz.
Dört terimden birinin gerçel olması için j² yerine −1 koyun.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Karmaşık sayılar: z = a + jb sayısının gerçel kısmı a, sanal kısmı b’dir; j² = −1 (matematikçiler i yazar). Toplamayı ve çıkarmayı kısım kısım yapın; parantezleri açın ve j² yerine −1 koyun; bölmek için pay ve paydayı paydanın eşleniğiyle, z̄ = a − jb, çarpın; çünkü z·z̄ = a² + b² gerçeldir. Argand diyagramında z, (a, b) noktasıdır: orijine uzaklığı modül |z| = √(a² + b²)’dir ve pozitif gerçel eksenden ölçülen açı argüman θ’dır.
z = 4∠160° sayısını a + jb dikdörtgen biçiminde yazın ve sanal kısmı, b, verin.
r = 4θ = 160°
İstenen: b
İpuçlarını göster
a = r·cos θ ve b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
r = 4 ile çarpın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Kutupsal biçim: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ; r = |z| ve θ = arg z. Dikdörtgen biçime dönüş: a = r cos θ, b = r sin θ. Argüman için bölge gerekir: θ = atan(b/a) yalnızca a > 0 için geçerlidir; a < 0 için 180° ekleyin ya da çıkarın. Kutupsal biçimde çarpma kolaydır: modülleri çarpın, argümanları toplayın; bölmek için modülleri bölün, argümanları çıkarın.
Bileşenler
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Dikdörtgen biçim
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Cevap
b = 1,368
Örnek 3Zor
n = 4 ve w = 16∠−60° için zⁿ = w denkleminin kökleri, k = 0, 1, 2, 3 olmak üzere zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)’dir. z₂ kökünün gerçel kısmını bulun.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
İstenen: Re(z₂)
İpuçlarını göster
Her kökün modülü R1/n = 161/4 = 2’dir.
z₂ kökünün argümanı (φ + 360°·k)/n’dir; φ = −60°, k = 2 ve n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Cevabı ve adım adım çözümü göster
De Moivre ve kökler: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. zⁿ = R∠φ denkleminin tam olarak n kökü vardır; hepsinin modülü R1/n’dir ve argümanları k = 0, 1, …, n − 1 için (φ + 360°·k)/n’dir: bir çember üzerinde eşit aralıklarla, 360°/n arayla dizilirler. p² < 4q olan z² + pz + q = 0 ikinci derece denkleminin karmaşık kökleri z = −p/2 ± j√(q − p²/4)’tür; gerçel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri her zaman a ± jb eşlenik çiftleri hâlindedir.
Köklerin modülü
161/4 = 2
Kökün argümanı
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Dikdörtgen biçim
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Cevap
Re(z₂) = −1,932
4 kök, yarıçapı 2 olan çember üzerinde, birbirinden 90° arayla durur.
Sorular ve cevaplar
Karmaşık sayılar nedir?
x² = −1 denkleminin gerçel çözümü yoktur. Mühendisler j² = −1 olan yeni bir j sayısı ekler. Matematikçiler i yazar; mühendislikte j kullanılır, çünkü i zaten akım anlamına gelir.
Bir karmaşık sayı z = a + jb biçimindedir. a sayısı gerçel kısım, b ise sanal kısımdır: Re(z) = a ve Im(z) = b.
Karmaşık sayılar soruları adım adım nasıl çözülür?
İşleme uygun biçimi seçin: toplama ve çıkarma için dikdörtgen a + jb, çarpma, bölme, kuvvet ve kökler için kutupsal r∠θ.
j² = −1 ile açarak çarpın; bölmek için pay ve paydayı paydanın eşleniğiyle çarpın.
r = √(a² + b²) ile ve θ’yı noktanın bir çiziminden (bölgeyi denetleyin) bularak çevirin; geri dönmek için a = r cos θ, b = r sin θ kullanın.
Kuvvetler için De Moivre’i, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, kullanın; zⁿ = R∠φ için n kökün hepsini R1/n∠((φ + 360°k)/n) olarak listeleyin.
Karmaşık sayılar konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
Parantezleri açarken j²’yi +1 saymak.
Gerçel ve sanal kısımları ayrı ayrı bölmek.
Sol yarım düzlemdeki bir nokta için argüman olarak atan(b/a) almak.
Derece ve radyanı karıştırmak, özellikle ejθ’da.
zⁿ = w denkleminin yalnızca bir kökünü vermek ya da modülün n. kökünü almayı unutmak.
Karmaşık sayılar alıştırmaları neleri kapsar?
Kolay: dikdörtgen biçimde aritmetik
Orta: kutupsal ve üstel biçim
Zor: De Moivre, kökler ve denklemler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
Çalışma nasıl işler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.