Olasılık: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: olasılık hesabı · koşullu olasılık

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Olasılık alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: eşit olasılıklı sonuçlar, sayma ve tümleyenler, binom dağılımı.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
toplam ≥ 41. zar2. zar112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

İki hilesiz zar atılıyor. Toplamın en az 4 olma olasılığı P nedir?

2 zar≥ 4

Olasılığı 0 ile 1 arasında ondalık sayı olarak verin.

Sonraki soru →
Olasılık konusunu ücretsiz çalışınOlasılık konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayeşit olasılıklı sonuçlar
  2. Ortasayma ve tümleyenler
  3. Zorbinom dağılımı

Temel formüller

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Olasılık konusunu sıfırdan öğrenin

1Olasılık nedir?

Olasılık, bir şeyin ne kadar olası olduğunu söyleyen, 0 ile 1 arasında bir sayıdır. 0 asla olmaz, 1 her zaman olur demektir.

Tüm sonuçlar eşit olasılıklı olduğunda onları sayın:

P(A) = istenen sonuç sayısı / toplam sonuç sayısı

Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi ve 2 yeşil, toplam 10 top vardır. Rastgele bir tane çekerseniz P(mavi) = 5/10 = 0,5.

Adil bir zarın 6 yüzü vardır, yani P(altı) = 1/6 ≈ 0,167 ve P(çift) = 3/6 = 0,5.

Bir olasılık yüzde olarak da yazılabilir: 0,5, %50’dir. Sınav cevapları genellikle 0 ile 1 arasında ondalıklardır.

Kendini sına Bir torbada 2 kırmızı, 8 mavi ve 4 yeşil top vardır. Rastgele bir tane çekiyorsunuz. P(kırmızı) nedir?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Cevap: 2/14 ≈ 0,143. 2 + 8 + 4 = 14 top vardır ve 2’si kırmızıdır: 2/14 ≈ 0,143. 12’ye bölmek yalnızca diğer topları sayar, ama toplam kırmızıları da içermelidir.

2Olayları birleştirme kuralları

  • Tümleyen: P(A değil) = 1 − P(A). “En az bir” soruları için kullanın: P(en az bir) = 1 − P(hiç).
  • Ve, bağımsız olaylar: çarpın. İki adil para P(iki yazı) = 0,5 · 0,5 = 0,25 verir.
  • Veya: P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B). Örtüşmeyi iki kez saymamak için çıkarın.

Yerine koymadan çekmek torbayı değiştirir. Bir kırmızı top çıkardıktan sonra bir kırmızı top ve toplamda bir top daha azdır.

5 kırmızı ve 4 mavi topla P(iki kırmızı) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Sırasının önemli olmadığı grupları saymak için kombinasyonları kullanın. n öğeden k öğe seçmenin yolu sayısı:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Burada n! = n · (n − 1) · … · 1. Yani C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 6 kişiden 4 kişilik 15 komite.

Kendini sına Bir torbada 5 kırmızı ve 4 mavi top vardır. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. P(ikisi de kırmızı) nedir?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Cevap: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 kullanmak, ilk kırmızı topun artık torbada olmadığını unutur.

3Binom dağılımı

Bazı sorular aynı denemeyi n kez tekrarlar: 5 bileşeni sınamak, 8 cevabı tahmin etmek, bir parayı 3 kez atmak. Her deneme, diğerlerinden bağımsız olarak p olasılıkla bir başarıdır.

Başarı sayısı X o zaman bir binom dağılımını izler:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k başarı.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k başarısızlık.
  • C(n, k): başarıların düşebileceği farklı sıra sayısı.

“En çok bir” için P(X = 0) ve P(X = 1)’i toplayın. “En az bir” için 1 − P(X = 0) kullanın.

Kendini sına Adil bir parayı 3 kez atıyorsunuz. Tam 2 yazı gelme olasılığı nedir?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Cevap: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. C(3, 2)’yi unutmak 0,125 verir: bu yalnızca bir sıradır, örneğin YYT, ama TYY ve YTY de sayılır.

4Adım adım yöntem

  1. Bir sonucun ne olduğunu ve toplam kaç sonuç olduğunu yazın.
  2. Sözcükleri çevirin: “ve” çarp, “veya” topla (örtüşme çıkarılarak), “değil” 1 − P demektir.
  3. “En az bir” için önce “hiç” tümleyenini hesaplayın.
  4. Yerine koymadan: her çekişten sonra sayıları düşürün. Ya da kombinasyonlarla sayın.
  5. Sabit p ile tekrarlanan bağımsız denemeler: binom formülünü kullanın.
  6. Cevabın 0 ile 1 arasında olduğunu kontrol edin.

Birkaç adım olduğunda bir ağaç diyagramı yardımcı olur: bir dal boyunca çarpın ve ihtiyacınız olan dalları toplayın.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. Bunlardan en az birinin kırmızı olma olasılığı P nedir?

1

Tümleyeni kullanın

“En az bir kırmızı” üç durum içerir: kırmızı–kırmızı, kırmızı–mavi ve mavi–kırmızı. Tersi olan “kırmızı yok”un yalnızca bir durumu vardır: mavi–mavi.

P(en az bir kırmızı) = 1 − P(ikisi de mavi)
2

İlk çekiliş

10 topun 6’sı mavidir.

P(ilki mavi) = 6/10
3

İkinci çekiliş

Bir mavi top gitti, yani 9 topun 5’i mavi kaldı.

P(ikisi de mavi) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Ağaçta R kırmızı, B mavi toptur. Kalın dal mavi–mavidir.

4

Tümleyeni alın

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Cevabı kontrol edin

Kombinasyonlarla sayın: C(10, 2) = 45 çift vardır ve bunların C(6, 2) = 15’i mavi–mavidir. 15/45 = 1/3, öncekiyle aynı.

Ağacın diğer üç dalı da 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 eder.

Cevap

P = 2/3 ≈ 0,667

6Sık yapılan hatalar

  • “En az bir” için 1 − P(hiç) kullanmak yerine olasılıkları toplamak.
  • Yerine koymadan çekerken sayıları düşürmeyi unutmak.
  • Binom formülündeki C(n, k) çarpanını unutmak.
  • Yanlış toplama bölmek; örneğin yalnızca diğer renklere.
  • 1’in üstünde veya 0’ın altında bir olasılık vermek. Bu her zaman bir hata işaretidir.
Kendini sına Adil bir zarı iki kez atıyorsunuz. En az bir altı gelme olasılığı nedir?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Cevap: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(altı yok) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. 1/6 + 1/6 toplamak 1/3 verir; bu, iki altı gelme durumunu iki kez sayar.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: eşit olasılıklı sonuçlar. Renkli toplar torbasından bir çekiliş veya bir zar atışı.
  • Orta: sayma ve tümleyenler. C(n, k) ile komiteler veya yerine koymadan iki çekiliş.
  • Zor: binom dağılımı. Tam k başarı veya P(X = 0) + P(X = 1) olarak “en çok bir”.

Cevabı 0 ile 1 arasında bir ondalık olarak, üç veya dört ondalığa yuvarlayarak verin.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

Tablo X’in olasılık dağılımını veriyor, ama bir olasılık eksik. P(X = 1) değerini bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

İstenen: P(X = 1)

İpuçlarını göster
  1. Bir dağılımın tüm olasılıkları toplamı 1 eder.
  2. Bilinen olasılıkları toplayın.
  3. P = 1 − 0,75.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Bilinen olasılıkların toplamı

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Eksik olasılık

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Cevap

P(X = 1) = 0,25
Örnek 2Orta
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

İstenen: Var(X)

İpuçlarını göster
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Sonra E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Varyans

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Cevap

Var(X) = 1,848
Örnek 3Zor
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,3 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,3k = 5

İstenen: P

İpuçlarını göster
  1. Bu bir binom dağılımıdır: sabit sayıda bağımsız deneme, aynı başarı olasılığı.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Cevap

P = 0,1585

Sorular ve cevaplar

Olasılık nedir?

Olasılık, bir şeyin ne kadar olası olduğunu söyleyen, 0 ile 1 arasında bir sayıdır. 0 asla olmaz, 1 her zaman olur demektir.

Tüm sonuçlar eşit olasılıklı olduğunda onları sayın:

Olasılık soruları adım adım nasıl çözülür?

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Olasılık konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Bu, bilinen olasılıkların toplamıdır. Eksik olan, 1 eksi bu toplamdır.
  • Değerler eşit olasılıklı değildir: tüm olasılıkların toplamının 1 olduğunu kullanın.
  • E(X²) varyans değildir: μ²’yi çıkarın.
Olasılık alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: eşit olasılıklı sonuçlar
  • Orta: sayma ve tümleyenler
  • Zor: binom dağılımı

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Sonra devam edin

Kanıta dayalı uygulama istatistikleri

Hesaplayıcılar

Binom dağılımı hesaplayıcıPoisson dağılımı hesaplayıcıPermütasyon ve kombinasyon hesaplayıcı (nPr ve nCr)Beklenen değer ve varyans hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistikİstatistiğe GirişMühendislik MatematiğiAP Statistics alıştırma sorularıCFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Olasılık çalışma kâğıdı
Olasılık konusunu ücretsiz çalışınOlasılık konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.