Optimizasyon: adım adım çözümlü alıştırma soruları

1Optimizasyon nedir

Optimizasyon, en iyi değeri bulmak demektir: verilen bir çit uzunluğu için en büyük alan, bir kutu için en az metal ya da en yüksek kâr.

Olabildiğince büyük ya da küçük yapmak istediğiniz büyüklük tek bir değişkene, örneğin bir tarlanın x genişliğine bağlıdır.

Grafiğini gözünüzün önüne getirin. Bir tepenin zirvesinde ve bir vadinin dibinde grafik bir an düzdür. Yani oradaki eğim sıfırdır.

Temel fikir budur: maksimumda ya da minimumda türev 0’dır. En iyi x’i Q′(x) = 0 çözerek bulursunuz.

2Amaç ve kısıt

Her optimizasyon problemi iki bölümden oluşur. Bir şey hesaplamadan önce onları adlandırın.

• Amaç: A alanı ya da C maliyeti gibi, en büyük veya en küçük yapılacak büyüklük.
• Kısıt: toplam çit uzunluğu ya da bir kutunun alması gereken hacim gibi sabit bir koşul.

Amaçta genellikle iki değişken vardır, örneğin A = x · y. Bunun türevini henüz alamazsınız.

Kısıtı kullanarak y’yi x cinsinden yazın. O zaman amaç yalnızca x’e bağlı olur.

Örnek: çevresi 20 m olan bir dikdörtgende 2x + 2y = 20, yani y = 10 − x ve A(x) = x(10 − x) = 10x − x².

Önce bir çizim yapın ve her uzunluğu üzerine yazın. Hataların çoğu kısıtta olur.

3Maliyet ve kâr problemleri

İş problemlerinde amaç kârdır: gelir eksi maliyet.

Burada q satılan birim sayısı ve p birim başına fiyattır. Fiyat q’ya bağlıysa önce o formülü R’ye koyun.

Örnek: fiyat p = 60 − q ve maliyet C = 100 + 30q.

O zaman en iyi fiyat p = 60 − 15 = 45 €’dur. Soruyu dikkatle okuyun: q’yu, p’yi ya da kâr P’nin kendisini isteyebilir.

4Adım adım yöntem

1. Bir çizim yapın ve değişkenleri adlandırın.
2. Amaç Q’yu (alan, maliyet, kâr) ve kısıtı yazın.
3. Kısıtı kullanarak Q’yu tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazın, Q(x).
4. Türev alın ve Q′(x) = 0 çözün.
5. Doğru türden bir nokta olup olmadığını kontrol edin: maksimum için Q″ < 0, minimum için Q″ > 0.
6. Sorulan soruyu yanıtlayın: x, diğer kenar ya da Q’nun en iyi değeri, birimiyle.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

6Sık yapılan hatalar

• Yanlış büyüklük için cevap vermek: soru y’yi istiyor ve siz x’i veriyorsunuz.
• Hâlâ iki değişkeni olan bir amacın türevini almak. Önce kısıtı kullanın.
• Yanlış kısıt yazmak, örneğin nehir tarafını da çitle çevirmek.
• Noktanın maksimum mu minimum mu olduğunu kontrol etmemek.
• Birimleri unutmak ya da alanı m² yerine m olarak vermek.

7Sınav soruları nasıl görünür

• Kolay: nehir kenarındaki tarla ya da ek bir çitle bölünmüş bir ağıl gibi en büyük alan ya da hacim.
• Orta: kapalı bir kutu (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) ya da metre başına iki fiyatlı bir çit gibi en düşük maliyet ya da malzeme.
• Zor: kâr ve gelir. P = R − C kurun, P′(q) = 0 çözün, sonra fiyatı ya da en yüksek kârı bulun.

Hızlı kontrol: cevabınızın biraz üstündeki ve biraz altındaki bir değeri Q’ya koyun. İkisi de daha kötü olmalıdır.