Diziler ve seriler: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Diziler ve seriler alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: aritmetik ve geometrik seriler, yakınsaklık ve kuvvet serileri, Taylor ve Maclaurin polinomları.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
kak​12345678

5, 7,5, 11,25, … geometrik dizisinin ilk 8 teriminin toplamını, S8, bulun.

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Sonraki soru →
Diziler ve seriler konusunu ücretsiz çalışınDiziler ve seriler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolayaritmetik ve geometrik seriler
  2. Ortayakınsaklık ve kuvvet serileri
  3. ZorTaylor ve Maclaurin polinomları

Diziler ve seriler soruları nasıl çözülür

  1. Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
  2. Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
  3. Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
  4. Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Sık yapılan hatalar

  • aₙ = a₁ + (n − 1)d ya da a₁rⁿ⁻¹’de n − 1 yerine n kullanmak.
  • |r| ≥ 1 olduğunda ya da yanlış ilk terimle sonsuz toplam formülünü kullanmak.
  • Yalnızca terimler 0’a gidiyor diye yakınsaklık sonucuna varmak.
  • Oran testi limitini ters çevirmek: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|’dir, tersi değil.
  • Bir Taylor polinomunda faktöriyelleri ya da değişen işaretleri unutmak.

Temel formüller

Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Diziler ve seriler konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Limitler, Türevler

1Aritmetik ve geometrik diziler

Bir dizi a₁, a₂, a₃, … sayılarının bir listesidir ve bir seri bunların toplamıdır. Her sınavda iki tür geri gelir.

Bir aritmetik dizi her adımda aynı d farkını ekler: 3, 7, 11, 15, … için d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

3, 7, 11, … için: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 ve S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. n − 1’e dikkat edin: birinci terimden 20. terime yalnızca 19 adım vardır.

Bir geometrik dizi her adımda aynı r oranıyla çarpar: 2, 6, 18, … için r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Kendini sına 5, 8, 11, 14, … dizisinin 10. terimi nedir?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Cevap: 32. d = 3; dolayısıyla a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. 9·3 yerine 10·3 kullanmak 35 verir.

2Sonsuz geometrik seri

2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … terimlerini eklemeye devam edin; toplam hiç geçmeden 4’e yaklaşır.

nSₙ4123456789233,5

|r| < 1 olduğunda Sₙ içindeki rⁿ terimi 0’a küçülür ve sonsuz toplam vardır:

S = a₁/(1 − r), yalnızca |r| < 1 için

Burada a₁ toplamın ilk terimidir. Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ için ilk terim 8·(1/2)² = 2’dir; dolayısıyla S = 2/(1 − 1/2) = 4.

|r| ≥ 1 olduğunda terimler küçülmez ve serinin toplamı yoktur: ıraksar.

Kendini sına Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ kaçtır?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Cevap: 4. İlk terim (k = 0) 3’tür ve r = 1/4; dolayısıyla S = 3/(1 − 1/4) = 4. Paydada 1 + r kullanmak 2,4 verir.

3Bir seri yakınsar mı?

Çoğu serinin basit bir toplam formülü yoktur, ama toplamın sonlu olup olmadığına yine de karar verebilirsiniz. Testleri şu sırayla kullanın:

  1. n. terim testi: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar. Σ k/(k + 1) ıraksar, çünkü terimleri 1’e gider.
  2. Standart seriler: Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için yakınsar (yani harmonik seri olan Σ1/k ıraksar). Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar.
  3. Karşılaştırma: 1/(k² + 3), 1/k²’den küçüktür; bu yüzden Σ1/(k² + 3) de yakınsar.
  4. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 cevap vermez. Faktöriyeller ve k. kuvvetler için kullanın.
  5. Değişen işaretli seri: Σ(−1)ᵏ/k yakınsar, çünkü terimlerin işareti değişir ve 0’a azalır.

Örnek: Σ k/2ᵏ için oran ((k + 1)/k)·(1/2)’dir ve L = 1/2 < 1’e gider; dolayısıyla yakınsar.

Kendini sına Bu serilerden hangisi ıraksar?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Cevap: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2, p = 1/2 ≤ 1 olan bir p-serisidir; bu yüzden ıraksar. 1/k² için p = 2’dir, (2/3)ᵏ r < 1 olan geometrik seridir ve oran testi 3ᵏ/k! için L = 0 verir.

4Kuvvet serileri ve yakınsaklık yarıçapı

Bir kuvvet serisi Σ ck(x − x₀)ᵏ sonu olmayan bir polinomdur. x₀ merkezine yeterince yakın x için yakınsar.

Terimin tamamına uygulanan oran testi yakınsaklık yarıçapını R verir: seri |x − x₀| < R için yakınsar ve |x − x₀| > R için ıraksar.

R = lim |ck/ck+1|

Örnek: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) için ck/ck+1 = 3(k + 1)/k’dır ve 3’e gider. Yani R = 3’tür ve seri −3 < x < 3 için yakınsar.

İki uç noktada test cevap vermez; soru tam aralığı istiyorsa onları ayrıca denetleyin.

5Taylor ve Maclaurin polinomları

Bir a noktasının yakınında düzgün bir fonksiyon bir polinom gibi görünür. n. dereceden Taylor polinomu a’daki değeri ve ilk n türevi eşler:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

a = 0 için buna Maclaurin polinomu denir. Şu serileri ezbere öğrenin:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Ne kadar çok terim alırsanız polinom fonksiyona o kadar uzun süre yakın kalır.

Çözümlü örnek

e0,5 değerini 3. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşık olarak bulun ve hatayı sınırlayın.

1

Polinomu yazın

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

x = 0,5 yerine koyun

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Lagrange hata sınırı

Hata en çok M·|x|⁴/4!’tür; burada M, 0 ile 0,5 arasında 4. türev eᵗ’nin en büyük değeridir: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Karşılaştırın

Hesap makinesi e0,5 = 1,648721 verir; yani gerçek hata 0,0029’dur ve sınırın içindedir.

Cevap

e0,5 ≈ 1,6458, hata en çok 0,0043.

6Sık yapılan hatalar ve sınav soruları

  • n. terim için n − 1 yerine n adım kullanmak.
  • Toplam k = 0’dan başlamadığında a/(1 − r)’yi yanlış ilk terimle yazmak.
  • Terimleri 0’a gidiyor diye serinin yakınsadığı sonucuna varmak. Σ1/k karşı örnektir.
  • Bir Taylor polinomunda faktöriyelleri ya da sin ve cos’un eksi işaretlerini unutmak.
  • Hata sınırında |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! yerine |x|ⁿ/n! kullanmak.

Kolay: aritmetik ve geometrik dizilerin toplamları. Orta: yakınsaklığa karar vermek, oran testi ve yakınsaklık yarıçapı. Zor: Taylor polinomları, katsayıları ve hata sınırları.

Kendini sına sin x’in Maclaurin serisinde x³’ün katsayısı nedir?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Cevap: −1/6. sin x = x − x³/3! + … ve 3! = 6; dolayısıyla katsayı −1/6’dır. Eksi işaretini unutmak 1/6 verir.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
kak​13579111315ε = 0,2

aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ geometrik dizisi azalır. aₙ < 0,2 olan ilk indisi, n, bulun.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

İstenen: n

İpuçlarını göster
  1. 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 eşitsizliğini logaritmalarla çözün.
  2. ln 0,85 negatiftir: ona bölmek eşitsizliği ters çevirir.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Aritmetik ve geometrik seriler: bir aritmetik dizi her adımda aynı d farkını ekler, aₙ = a₁ + (n − 1)d ve toplamı Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2’dir. Bir geometrik dizi aynı r oranıyla çarpar, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ ve Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). |r| < 1 olduğunda terimler sonsuz toplamın var olmasına yetecek kadar hızlı küçülür: S = a₁/(1 − r); burada a₁ toplamın ilk terimidir.

Eşitsizlik

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritmalar

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Kontrol

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Cevap

n = 21
Örnek 2Orta
kSn​12345678910S = ?

S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)) toplamını bulun.

ak = 12/(k(k + 3))

İstenen: S

İpuçlarını göster
  1. Basit kesirlere ayırma: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. İlk birkaç terimi yazın: çoğu birbirini götürür (teleskopik toplam).
  3. Geriye (12/3)·(1 + … + 1/3) kalır.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Kısmi kesirler

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

İptal

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Cevap

S = 7,333
Örnek 3Zor

f(x) = cos x, x = 1 noktasında n. dereceden Maclaurin polinomuyla yaklaşıklanıyor. M = 1 ile Lagrange sınırı M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! kullanarak, hatanın 1 × 10⁻⁶ değerinin altında olmasını garanti eden en küçük dereceyi, n, bulun.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

İstenen: n

İpuçlarını göster
  1. n = 1, 2, 3, … deneyin ve her seferinde 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! hesaplayın.
  2. Faktöriyel hızla büyür; bu yüzden birkaç adım yeter.
  3. Sınırın 1 × 10⁻⁶ değerinin altına düştüğü ilk n’de durun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

n(n + 1)!sınır011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Artan n için sınırlar

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

En küçük derece

n = 9

Cevap

n = 9

Sorular ve cevaplar

Diziler ve seriler nedir?

Bir dizi a₁, a₂, a₃, … sayılarının bir listesidir ve bir seri bunların toplamıdır. Her sınavda iki tür geri gelir.

Bir aritmetik dizi her adımda aynı d farkını ekler: 3, 7, 11, 15, … için d = 4.

Diziler ve seriler soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
  2. Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
  3. Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
  4. Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.
Diziler ve seriler konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • aₙ = a₁ + (n − 1)d ya da a₁rⁿ⁻¹’de n − 1 yerine n kullanmak.
  • |r| ≥ 1 olduğunda ya da yanlış ilk terimle sonsuz toplam formülünü kullanmak.
  • Yalnızca terimler 0’a gidiyor diye yakınsaklık sonucuna varmak.
  • Oran testi limitini ters çevirmek: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|’dir, tersi değil.
  • Bir Taylor polinomunda faktöriyelleri ya da değişen işaretleri unutmak.
Diziler ve seriler alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: aritmetik ve geometrik seriler
  • Orta: yakınsaklık ve kuvvet serileri
  • Zor: Taylor ve Maclaurin polinomları

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

LimitlerTürevler

Bu konuyu içeren dersler

Mühendislik Matematiği 2Analiz 2Sayısal YöntemlerAP Calculus alıştırma soruları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Diziler ve seriler çalışma kâğıdı
Diziler ve seriler konusunu ücretsiz çalışınDiziler ve seriler konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.