Mühendislik Matematiği 2: alıştırma soruları ve sınav soruları

Mühendisler için ikinci matematik dersi: ikinci mertebeden diferansiyel denklemler, matrisler ve vektörler, dönel cisimlerin hacimleriyle integral alma teknikleri, kısmi türevler ve çift katlı integraller, seriler ve Taylor polinomları, Laplace dönüşümü ve konvolüsyon. Devreler, titreşimler ve kontrol dersleri bu araçların üzerine kurulur.

Bu derse ücretsiz çalışBu dersi çalışDeneme sınavına girHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Hızlı tekrar paketi (PDF)Formül kâğıtları, yöntem adımları ve tam çözümlü alıştırma soruları, yazdırmaya hazır.

Bu dersteki konular

  1. Diferansiyel denklemlerüstel büyüme ve azalma · Newton’un soğuma yasası · birinci mertebe lineerhesaplamalar
  2. Matrisler ve determinantlar2×2 determinant · 3×3 ve çarpımlar · özdeğerler ve sistemlerhesaplamalar
  3. Vektörler: skaler ve vektörel çarpımbüyüklük ve bileşenler · skaler çarpım · vektörel çarpım ve momentlerhesaplamalar
  4. İntegrallerpolinomlar · üstel fonksiyonlar, logaritmalar ve değişken değiştirme · eğriler arasındaki alanlarhesaplamalar
  5. Çok değişkenli analizkısmi türevler ve çift katlı integraller · gradyan, teğet düzlem ve zincir kuralı · kritik noktalar ve bölgeler üzerinde integrallerhesaplamalar
  6. Diziler ve serileraritmetik ve geometrik seriler · yakınsaklık ve kuvvet serileri · Taylor ve Maclaurin polinomlarıhesaplamalar
  7. Laplace dönüşümleridönüşüm çiftleri ve değer teoremleri · kısmi kesirlerle ters dönüşüm · Diferansiyel denklemler ve transfer fonksiyonlarıhesaplamalar
  8. Evrişim ve LTI sistemlerayrık evrişim · sürekli evrişim · darbe yanıtı ve Fourier serisihesaplamalar

Mühendislik Matematiği 2 için sınav ipuçları

  • Doğrusal bir diferansiyel denklemde önce karakteristik denklemi yazın: kökleri çözümün biçimini belirler.
  • Kısmi integrasyonda u olarak, türevi alındığında basitleşen çarpanı seçin.
  • Dönüşümü elle integre etmek yerine Laplace tablosunu ve basit kesirlere ayırmayı kullanın.

Çözümlü örnekler

Diferansiyel denklemlerKolay
rr² + br + c?

y″ + 4y′ + 3y = 0 denklemi için karakteristik denklemin sıfıra en yakın kökünü r bulun. Çözümün ne kadar yavaş söneceğini bu belirler.

y″ + 4y′ + 3y = 0

İstenen: r

İpuçlarını göster
  1. y = ert yerine koyun.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Çarpanlara ayırın ya da ikinci derece denklem formülünü kullanın.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Karakteristik denklem

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Kökler

r = −1, r = −3
sıfıra en yakın: r = −1

Cevap

r = −1

Genel çözüm y = A·e−1t + B·e−3t’dir.

Matrisler ve determinantlarOrta
A =−153−5−1−3−513

Gösterilen 3×3 A matrisinin determinantı det A'ı bulun.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

İstenen: det A

İpuçlarını göster
  1. + − + işaretleriyle ilk satır boyunca açın.
  2. Her terim, bir elemanın, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 determinantla çarpımıdır.
  3. minörler: 0, −30, −10.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

İlk satırın 2×2 minörleri

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Kofaktör açılımı

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Cevap

det A = 120

Çalışma nasıl işler

  • “Bu dersi çalış”, gerçek bir sınavdaki gibi tüm konulardan karışık sorular getirir.
  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • Deneme sınavları süreli ve ipuçsuzdur; sonunda puanınızı ve tam bir değerlendirmeyi görürsünüz.

Bu dersin hesaplayıcıları

Ters Laplace dönüşümü hesaplayıcı (kısmi kesirler)Laplace dönüşümü hesaplayıcıMatris determinantı ve tersi hesaplayıcıÖzdeğer ve özvektör hesaplayıcıYarı ömür ve üstel bozunma hesaplayıcıDoğrusal denklem sistemi çözücü (2×2 ve 3×3)İntegral hesap makinesi (belirli ve belirsiz)

İlgili dersler

Mühendislik MatematiğiAnaliz 2Sayısal YöntemlerAP Calculus alıştırma sorularıDiferansiyel Denklemlerİşaretler ve SistemlerKalkülüs 1Statik
Bu derse ücretsiz çalışBu dersi çalışDeneme sınavına girHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.