Ters Laplace dönüşümü hesaplayıcı (kısmi kesirler)
Değerlerinizi girin. Cevap ve tam ayrıntılı çözüm siz yazdıkça güncellenir.
Sonuç
F(s) = N(s)/D(s) rasyonel fonksiyonunun ters Laplace dönüşümünü bulun. Payın ve paydanın katsayılarını s’nin en yüksek kuvveti önce olacak şekilde girin. Hesaplayıcı ortak çarpanları sadeleştirir, has olmayan kesiri böler, kutupları bulur, her kısmi kesir katsayısını (tekil, tekrarlı ve karmaşık kutuplar için) hesaplar ve f(t)’yi üstel, t’nin kuvvetleri, sinüs ve kosinüs terimlerinin toplamı olarak yazar.
Adım adım çözüm
F(s)’yi polinomların oranı olarak yazın
Kutuplar: paydanın kökleri
Kısmi kesirler
Kullanılan dönüşüm çiftleri
Ters Laplace dönüşümü
Kısmi kesirlerle ters Laplace dönüşümü nasıl bulunur
- F(s)’nin has olduğundan emin olun: payın derecesi paydanınkinden küçük değilse önce bölün. Polinom kısmı δ(t), δ′(t) gibi impulslar verir.
- Kutupları bulmak için paydayı çarpanlarına ayırın: gerçek bir a kutbu (s − a) çarpanını, a ± bj karmaşık çifti ise (s − a)² + b² çarpanını verir.
- F(s)’yi kısmi kesirlerin toplamı olarak yazın ve katsayıları bulun. Basit bir kutup için A = [(s − a)·F(s)] değerinin s = a’daki değeridir (kapatma kuralı); tekrarlı kutuplar türev gerektirir.
- Her terimi tabloyla dönüştürün: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! ve (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- t ≥ 0 için f(t)’yi elde etmek üzere terimleri toplayın.
Sorular ve cevaplar
F(s)’yi nasıl girerim?
Her polinomun katsayılarını s’nin en yüksek kuvvetinden başlayarak boşlukla ayırarak yazın; eksik kuvvetler için sıfır kullanın. (s + 3)/(s² + 3s + 2) için pay 1 3, payda 1 3 2; 1/(s³ + 4s) için pay 1, payda 1 0 4 0 olur. 1/2 gibi kesirlere ve ondalıklı sayılara izin verilir.
Kapatma yöntemi nedir?
s = a’daki basit bir kutup için F(s)’yi (s − a) ile çarpın, sadeleştirin ve s = a koyun. F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) için bu, s = −1’de 2/1 = 2 ve s = −2’de 1/(−1) = −1 verir; dolayısıyla f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Karmaşık kutuplar nasıl ele alınır?
a ± bj kutup çifti (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²) terimini verir; bunun tersi e^(at)·(B cos bt + C sin bt) olur. Hesaplayıcı B ve C değerlerini a + bj’deki karmaşık A katsayısından bulur: B = 2·Re A ve C = −2·Im A.
Payın derecesi çok yüksekse ne olur?
O zaman F(s) has değildir. Polinom bölmesi F(s) = Q(s) + R(s)/D(s) verir. Q(s) polinomu impulslara dönüşür: c sabiti c·δ(t), c·s ise c·δ′(t) verir, böyle devam eder. Has kısım R(s)/D(s) her zamanki gibi kısmi kesirlere ayrılır.
Sonuçlar ne kadar kesindir?
Ortak ve tekrarlı çarpanlar kesirlerle tam olarak bulunur. Kökler ve katsayılar sonra yaklaşık 14 basamağa kadar sayısal olarak hesaplanır ve 4 anlamlı basamakla gösterilir; bu yüzden s² + s + 1 gibi ifadelerin irrasyonel kutupları ondalık olarak görünür.
f(t) neden yalnızca t ≥ 0 için geçerlidir?
Tek taraflı Laplace dönüşümü yalnızca f’nin t ≥ 0 değerlerini kullanır. Kesin olarak sonuç f(t)·u(t)’dir; burada u birim basamak fonksiyonudur, dolayısıyla t < 0 için f(t) = 0.
Kendiniz deneyin
Laplace dönüşümleri çalışın
Hesaplayıcı cevabı verir. Sınavda ise yönteme ihtiyacınız var: yeni sorular, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle onu çalışın.