Doğrusal denklem sistemi çözücü (2×2 ve 3×3)
Değerlerinizi girin. Cevap ve tam ayrıntılı çözüm siz yazdıkça güncellenir.
Sonuç
İki ya da üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözün. Denklemleri 2x + y − z = 8 gibi yazdığınız şekilde girin ya da genişletilmiş matrisi girin. Hesap makinesi Gauss–Jordan eliminasyonunun her satır işlemini ya da Cramer kuralının determinantlarını gösterir, kesin kesirlerle çalışır ve çözümsüz ya da sonsuz çözümlü sistemleri tanır; sonsuz çözümleri bir parametreyle yazar.
Adım adım çözüm
Sistem
Genişletilmiş matris
Kolon 1 (x): pivot satırı: 1
Kolon 2 (y): pivot satırı: 2
Kolon 3 (z): pivot satırı: 3
Çözümü okuyun
Özgün denklemlerde denetleyin
Temel formüller
- 2×2 determinant
- det = ad − bc
- 2×2 ters matris
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Cramer kuralı
- xi = det(Ai)/det(A)
Doğrusal denklem sistemi eliminasyonla nasıl çözülür
- Sistemi genişletilmiş matris olarak yazın: her denklem için bir satır, x, y ve z katsayıları ve çizgiden sonra sağ taraf.
- İlk sütunda bir pivot seçin (sıfırdan farklı, tercihen 1) ve gerekirse onu birinci satıra getirin.
- Pivot satırını pivota bölün, sonra sütunun geri kalanını sıfırlamak için diğer satırlardan onun katlarını çıkarın.
- Katsayı kısmı indirgenmiş satır basamak biçimine gelene kadar bir sonraki sütun ve satır için tekrarlayın.
- Çözümü okuyun. c ≠ 0 olmak üzere 0 = c satırı çözüm olmadığını gösterir; pivotsuz bir sütun serbest değişken ve sonsuz çözüm demektir.
- Çözümü özgün denklemlerde yerine koyarak denetleyin.
Sorular ve cevaplar
Cramer kuralını ne zaman kullanmalıyım?
Determinantı sıfırdan farklı küçük sistemlerde, özellikle 2×2’de. Her bilinmeyen determinantların oranıdır: x = Dx/D. Daha büyük sistemlerde ya da D = 0 olduğunda eliminasyon daha hızlıdır ve ayrıca çözüm olmadığını ya da sonsuz çözüm olduğunu da söyler.
Bir sistemin çözümü olmadığını nasıl anlarım?
Eliminasyon, tüm katsayıları sıfır ama sağ tarafı sıfırdan farklı bir satır, örneğin 0 = 3, ürettiğinde. Geometrik olarak doğruların ya da düzlemlerin ortak bir noktası yoktur; örneğin iki paralel doğru.
Sonsuz çözüm ne anlama gelir?
Bir denklem diğerlerinin bileşimidir; bu yüzden bağımsız denklem sayısı bilinmeyen sayısından azdır. Çözümler bir doğru ya da bir düzlem oluşturur ve t parametresiyle yazılır: örneğin x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Denklemleri nasıl girerim?
Denklemleri noktalı virgülle ayırın ve her değişkenin önüne katsayısını yazın: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. 1/2x gibi kesirlere ve ondalık sayılara izin verilir ve bir değişken iki tarafta da yer alabilir.
Rank nedir?
Eliminasyondan sonraki pivot sayısıdır; yani bağımsız denklem sayısı. Kare bir sistemin tek çözümü, ancak rank bilinmeyen sayısına eşit olduğunda vardır; bu da determinantın sıfırdan farklı olması demektir.
Kendiniz deneyin
Matrisler ve determinantlar çalışın
Hesaplayıcı cevabı verir. Sınavda ise yönteme ihtiyacınız var: yeni sorular, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle onu çalışın.