Özdeğer ve özvektör hesaplayıcı

Değerlerinizi girin. Cevap ve tam ayrıntılı çözüm siz yazdıkça güncellenir.

Sonuç

λ15
λ23
λ32
Karakteristik polinomλ³ − 10λ² + 31λ − 30
İz10
Determinant30
ÖzdeğerKatlılıkÖzvektörBirim özvektör
51(2, 0, 1)(0,8944, 0, 0,4472)
31(1, 1, −1)(0,5774, 0,5774, −0,5774)
21(1, 0, −1)(0,7071, 0, −0,7071)

2×2 veya 3×3 bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun. Hesaplayıcı det(A − λI) ifadesini karakteristik polinoma açar, gerçek ya da karmaşık özdeğerleri katlılıklarıyla çözer ve (A − λI)v = 0 denklemini çözerek her gerçek özdeğerin özvektörlerini bulur. Her özvektör A·v hesaplanarak denetlenir; tekrarlayan özdeğerlerde matrisin köşegenleştirilip köşegenleştirilemeyeceği gösterilir.

Adım adım çözüm

Karakteristik denklem det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, asal 2×2 minörlerin toplamı = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

Özdeğerler

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
Kontrol: Σλ = 10 = tr A

Özvektör (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

Özvektör (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

Özvektör (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

Temel formüller

Özdeğerler
det(A − λI) = 0

Özdeğerler ve özvektörler nasıl bulunur

  1. A − λI elde etmek için A’nın her köşegen elemanından λ’yı çıkarın.
  2. Determinantı sıfıra eşitleyin: det(A − λI) = 0. 2×2 matris için bu λ² − (tr A)λ + det A = 0 olur; 3×3 matris için üçüncü dereceden bir denklemdir.
  3. Karakteristik denklemi çözün. Kontrol: özdeğerlerin toplamı izi, çarpımı determinantı verir.
  4. Her özdeğer için (A − λI)v = 0 denklemini satır indirgemesiyle çözün. Çözümler bir doğru (ya da düzlem) oluşturur; içindeki sıfırdan farklı her vektör bir özvektördür.
  5. Her özvektörü denetleyin: A·v, λ·v’ye eşit olmalıdır.

Sorular ve cevaplar

Matrisi nasıl girerim?

Satırları noktalı virgülle, her satırdaki sayıları boşlukla ayırarak yazın; örneğin 3×3 bir matris için 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3. Ondalıklı ve negatif sayılara izin verilir.

Bir matris neden karmaşık özdeğerlere sahip olabilir?

Karakteristik polinomun karmaşık kökleri olabilir; gerçek bir matriste bunlar her zaman eşlenik çiftler hâlinde gelir. 0 -1; 1 0 dönme matrisinin özdeğerleri ±i’dir; çünkü hiçbir gerçek vektör dönme altında yönünü korumaz.

Tekrarlayan bir özdeğer ne anlama gelir?

Karakteristik polinomun katlılığı 2 veya 3 olan bir köküdür. Matris yine de o kadar bağımsız özvektöre sahip olabilir (birim matris gibi) ya da daha azına. Daha azsa matris defektiftir ve köşegenleştirilemez.

Özvektör tek midir?

Hayır. Bir özvektörün sıfırdan farklı her katı da bir özvektördür. Hesaplayıcı mümkün olduğunda tam sayılarla basit bir biçimi ve uzunluğu 1 olan birim vektörü gösterir.

Özdeğerler ne için kullanılır?

Titreşen sistemlerin doğal frekanslarını, bir gerilme tensörünün asal gerilmelerini, diferansiyel denklem sistemlerinin kararlılığını ve temel bileşen analizindeki ana yönleri verirler.

Kendiniz deneyin

Matrisler ve determinantlar: adım adım çözümlü alıştırma sorularıMatrisler ve determinantlar soruları nasıl çözülürCevaplı Matrisler ve determinantlar çalışma kâğıdı

Matrisler ve determinantlar çalışın

Hesaplayıcı cevabı verir. Sınavda ise yönteme ihtiyacınız var: yeni sorular, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle onu çalışın.

Matrisler ve determinantlar konusunu ücretsiz çalışınMatrisler ve determinantlar konusunu şimdi çalışınÇözümlü örnekler
</> Yerleştir

Öğretmenler ve okullar için ücretsiz: bu kodu ders sayfanıza, LMS'inize veya web sitenize yapıştırın. Öğrenciler hesap makinesini ve adım adım çözümünü hesap olmadan kullanabilir.

Diğer hesaplayıcılar

Z puanı ve normal olasılık hesaplayıcıGüven aralığı hesaplayıcıÖrneklem büyüklüğü hesaplayıcıOrtalama, medyan ve standart sapma hesaplayıcıDoğrusal regresyon hesaplayıcıKi-kare uyum iyiliği hesaplayıcıMatris determinantı ve tersi hesaplayıcıNormal dağılım hesaplayıcıBinom dağılımı hesaplayıcıPoisson dağılımı hesaplayıcı