Çok değişkenli analiz: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Çok değişkenli analiz alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: kısmi türevler ve çift katlı integraller, gradyan, teğet düzlem ve zincir kuralı, kritik noktalar ve bölgeler üzerinde integraller.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
xy3−3P

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy için (3, −3) noktasında ∂f/∂x kısmi türevini bulun.

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Sonraki soru →
Çok değişkenli analiz konusunu ücretsiz çalışınÇok değişkenli analiz konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaykısmi türevler ve çift katlı integraller
  2. Ortagradyan, teğet düzlem ve zincir kuralı
  3. Zorkritik noktalar ve bölgeler üzerinde integraller

Çok değişkenli analiz soruları nasıl çözülür

  1. Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
  2. Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
  3. Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
  4. Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.

Sık yapılan hatalar

  • Sabit tutulması gereken değişkenin türevini almak.
  • Yön vektörünü normalleştirmeyi unutmak.
  • D = fxx·fyy + fxy² yazmak ya da D < 0 olan bir noktaya ekstremum demek.
  • Eğrilerle sınırlanan bir bölge için sabit iç sınırlar kullanmak.
  • dA = r dr dθ’de r çarpanını atlamak.

Temel formüller

Kısmi türevler
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradyan
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Yönlü türev
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Teğet düzlem
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Zincir kuralı
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
İkinci türev testi
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Çift katlı integral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Kutupsal koordinatlar
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Çok değişkenli analiz konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Türevler, İntegraller

1Kısmi türevler

İki değişkenli bir fonksiyon, z = f(x, y), xy-düzleminin üzerindeki bir yüzeydir. Bir haritada f’nin aynı değeri aldığı çizgiler olan seviye eğrileriyle çizilir.

Kısmi türev bir yöndeki eğimi ölçer. ∂f/∂x (fx olarak da yazılır) için y’yi sabit tutarsınız ve olağan kurallarla x’e göre türev alırsınız.

Örnek: f(x, y) = x²y + 3y². fx için y’yi bir sayı gibi, fy için x’i bir sayı gibi ele alın:

fx = 2xy fy = x² + 6y

(1, 2) noktasında bu fx = 4 ve fy = 1 + 12 = 13 verir.

Yeniden türev almak ikinci kısmi türevleri fxx, fyy ve fxy verir. Karışık türevin sırası önemli değildir: fxy = fyx. Burada fxy = 2x’tir.

Kendini sına f(x, y) = x³y² için ∂f/∂y nedir?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Cevap: 2x³y. x’i sabit tutun: x³ sabit bir çarpandır ve y², 2y verir; dolayısıyla fy = 2x³y. 3x²y², ∂f/∂x’tir.

2Gradyan ve yönlü türev

Gradyan iki kısmi türevi bir araya toplar: ∇f = (fx, fy). f’nin en hızlı yükseldiği yönü gösterir ve seviye eğrisine diktir.

xy∇fP

En dik eğimin kendisi |∇f| = √(fx² + fy²) uzunluğudur.

Başka herhangi bir v yönündeki eğim yönlü türevdir. Önce v’yi u = v/|v| birim vektörü yapın, sonra iç çarpımı alın:

Duf = ∇f·u

(1, 2) noktasında f = x²y + 3y² için: ∇f = (4, 13). v = (3, 4) yönünde u = (0,6; 0,8) olur; dolayısıyla Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Kendini sına Bir noktada ∇f = (3, 4). Orada f’nin en büyük artış hızı nedir?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Cevap: 5. Bu |∇f| = √(3² + 4²) = 5’tir. Bileşenleri toplamak 7 verir ve karekökü unutmak 25 verir.

3Teğet düzlem ve zincir kuralı

Bir (a, b) noktasının yakınında yüzey neredeyse düzdür. Teğet düzlem

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Doğrusal yaklaşımı verir: f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Örnek: f = x²y + 3y² için f(1, 2) = 14; dolayısıyla (1, 2) yakınında: f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Tam değer 13,129’dur.

x ve y ikisi de t’ye bağlı olduğunda zincir kuralı iki yolu toplar: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Kritik noktalar

Bir maksimumda, bir minimumda ya da bir eyer noktasında yüzey yataydır: fx = 0 ve fy = 0. Bu noktalara kritik nokta denir.

İkinci türev testi noktada D = fxxfyy − fxy² değerini kullanır:

  • D > 0 ve fxx > 0: yerel minimum.
  • D > 0 ve fxx < 0: yerel maksimum.
  • D < 0: eyer noktası; bir yönde yukarı, başka bir yönde aşağı.
  • D = 0: test hiçbir şeye karar vermez.
Çözümlü örnek

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve sınıflandırın.

1

İki kısmi türevi de sıfıra eşitleyin

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Kritik noktalar (1, 2) ve (−1, 2)’dir.

2

İkinci türevler

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

(1, 2) noktasını sınayın

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 ve fxx = 6 > 0: bir yerel minimum; f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

(−1, 2) noktasını sınayın

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: bir eyer noktası.

Cevap

(1, 2) noktasında f = −6 olan yerel minimum; (−1, 2) noktasında eyer noktası.

5Çift katlı integraller

Bir çift katlı integral ∬R f dA, f’yi bir R bölgesi üzerinde toplar; f = 1 için R’nin alanıdır. İki tek katlı integral olarak, önce içtekinden hesaplayın.

Bir dikdörtgen üzerinde sınırlar sayıdır: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. İç integral x + 1 verir ve ∫02 (x + 1) dx = 4.

Genel bir bölgede iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğrilerdir. y = x² ile y = 2x arasındaki bölge için y, x²’den 2x’e uzanır ve x, 0’dan 2’ye.

xyy = 2xy = x²2
Alan = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Diskler ve daire dilimleri için kutupsal koordinatları kullanın: x² + y² = r² ve dA = r dr dθ. r ≤ 2 diski üzerinde: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Kendini sına Kutupsal koordinatlarda dA neye dönüşür?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Cevap: r dr dθ. Küçük bir kutupsal yama Δr genişliğinde ve r·Δθ uzunluğundadır; bu yüzden dA = r dr dθ. r çarpanını unutmak en yaygın hatadır.

6Sık yapılan hatalar ve sınav soruları

  • Kısmi türevde “sabit” değişkenin de türevini almak.
  • Yönlü türevde u birim vektörü yerine v’yi kullanmak.
  • D = fxxfyy + fxy² yazmak ya da D < 0 olan bir noktaya ekstremum demek.
  • Bölge eğrilerle sınırlıyken iç sınırlar olarak sayıları kullanmak.
  • Kutupsal koordinatlarda r çarpanını unutmak.

Kolay: bir noktadaki kısmi türevler ve dikdörtgenler üzerinde integraller. Orta: gradyan, yönlü türev, teğet düzlem ve zincir kuralı. Zor: kritik noktaları sınıflandırmak ve eğri bölgeler üzerinde, kutupsal koordinatlarla ya da sırası değiştirilerek integraller.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
xy−1−3P

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy için (−1, −3) noktasında ∂f/∂x kısmi türevini bulun.

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

İstenen: fx(−1, −3)

İpuçlarını göster
  1. y’yi sabit bir sayı gibi ele alın ve x’e göre türev alın.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. x = −1 ve y = −3 yerine koyun.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kısmi türevler: ∂f/∂x, y sabit tutulurken (y’yi bir sayı gibi ele alın) x’e göre alınan olağan türevdir; ∂f/∂y ise tersidir. Kurallar (kuvvet, çarpım, zincir) tek değişkendekiyle aynıdır. Karışık ikinci türevler iki sırada da aynı sonucu verir: fxy = fyx. Bir dikdörtgen üzerindeki çift katlı integral iki tek katlı integral olarak, önce içtekinden hesaplanır: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Türev alın

y sabit tutulur.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Yerine koyun

fx(−1, −3) = −4

Cevap

fx(−1, −3) = −4
Örnek 2Orta

z = 2x²e3y, x = −t − 2 ve y = t² + 2. t = 0 anında dz/dt değerini bulmak için zincir kuralını kullanın.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

İstenen: dz/dt

İpuçlarını göster
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. t = 0 anında: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Gradyan: ∇f = (fx, fy) en dik artış yönünü gösterir ve |∇f| en büyük değişim hızıdır. Bir v yönündeki yönlü türev, u = v/|v| birim vektörüyle Duf = ∇f·u’dur. (a, b) noktasındaki teğet düzlem z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)’dir; f’nin o nokta yakınındaki doğrusal yaklaşımını verir. Zincir kuralı: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Nokta ve hızlar

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Kısmi türevler

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Zincir kuralı

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Cevap

dz/dt = 3227
Örnek 3Zor
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy fonksiyonunun (1, 1) noktasında bir kritik noktası vardır. Orada D = fxxfyy − fxy² diskriminantını, D, hesaplayın.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

İstenen: D

İpuçlarını göster
  1. Üç ikinci türevi, fxx, fyy ve fxy, bulun.
  2. Noktada: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kritik noktalar ve çift katlı integraller: bir kritik noktada fx = fy = 0’dır. D = fxxfyy − fxy² ile ikinci türev testi: D > 0 ve fxx > 0 yerel minimum, D > 0 ve fxx < 0 yerel maksimum, D < 0 eyer noktasıdır ve D = 0 hiçbir şeye karar vermez. Genel bir bölge üzerindeki çift katlı integralde iç sınırlar bölgeyi çevreleyen eğriler olsun; diskler ve daireler için kutupsal koordinatları kullanın: x = r cos θ, y = r sin θ ve dA = r dr dθ (r çarpanını unutmayın).

İkinci türevler

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Diskriminant

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ yerel minimum

Cevap

D = 27

Sorular ve cevaplar

Çok değişkenli analiz nedir?

İki değişkenli bir fonksiyon, z = f(x, y), xy-düzleminin üzerindeki bir yüzeydir. Bir haritada f’nin aynı değeri aldığı çizgiler olan seviye eğrileriyle çizilir.

Örnek: f(x, y) = x²y + 3y². fx için y’yi bir sayı gibi, fy için x’i bir sayı gibi ele alın:

Çok değişkenli analiz soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Kısmi türevde öbür değişkeni sabit sayın ve tek değişkenli kuralları kullanın.
  2. Gradyan sorularında ∇f = (fx, fy) değerini noktada hesaplayın; en dik eğim için |∇f|’i, yönlü türev için bir u birim vektörüyle ∇f·u’yu kullanın.
  3. Ekstremumlar için fx = 0 ve fy = 0 denklemlerini birlikte çözün, sonra her noktayı D = fxx·fyy − fxy² ile sınıflandırın.
  4. Çift katlı integral için bölgeyi çizin, iç sınırlar sınırlayıcı eğriler olacak şekilde sırayı (diskler için kutupsal koordinatları) seçin ve içtekinden başlayarak integral alın.
Çok değişkenli analiz konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Sabit tutulması gereken değişkenin türevini almak.
  • Yön vektörünü normalleştirmeyi unutmak.
  • D = fxx·fyy + fxy² yazmak ya da D < 0 olan bir noktaya ekstremum demek.
  • Eğrilerle sınırlanan bir bölge için sabit iç sınırlar kullanmak.
  • dA = r dr dθ’de r çarpanını atlamak.
Çok değişkenli analiz alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: kısmi türevler ve çift katlı integraller
  • Orta: gradyan, teğet düzlem ve zincir kuralı
  • Zor: kritik noktalar ve bölgeler üzerinde integraller

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Türevlerİntegraller

Bu konuyu içeren dersler

Mühendislik Matematiği 2Analiz 2

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikNormal dağılımGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Çok değişkenli analiz çalışma kâğıdı
Çok değişkenli analiz konusunu ücretsiz çalışınÇok değişkenli analiz konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.