Sayısal yöntemler: adım adım çözümlü alıştırma soruları
Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Sayısal yöntemler alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: kökler ve enterpolasyon, yamuk ve Simpson kuralları, Euler, Heun ve Runge–Kutta.
Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
f(x) = e−x − x fonksiyonuna x₀ = 0 başlangıç değeriyle Newton–Raphson yöntemini uygulayın. x2 değerini bulun.
Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Sık yapılan hatalar
Yarılama aralığının yanlış yarısını tutmak ya da adımları yanlış saymak.
Newton–Raphson’da x − f/f′ yerine x − f′/f yazmak.
Yamuk kuralında iç düğümlere 1 ağırlığı vermek ya da tek sayıda şeritle Simpson kullanmak.
İterasyonları çok erken yuvarlamak.
Son zamana ulaşmak için bir Euler adımını eksik ya da fazla atmak.
Temel formüller
Yarılama yöntemi
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Birçok denklemin ve integralin cevabı için formül yoktur: x = cos x, ∫e−x²dx ya da çoğu diferansiyel denklem. Sayısal yöntemler cevabı, ihtiyaç duyduğunuz herhangi bir doğrulukla adım adım hesaplar.
Yarılama yöntemi, f’nin işaret değiştirdiği bir [a, b] aralığında f(x) = 0 denkleminin bir kökünü bulur. Orta noktayı, c = (a + b)/2, alın ve işaretin hâlâ değiştiği yarıyı tutun.
Örnek: [1, 2] üzerinde f(x) = x² − 2. c₁ = 1,5 için f = 0,25 > 0; bu yüzden [1; 1,5] tutulur. c₂ = 1,25 için f = −0,4375 < 0; bu yüzden [1,25; 1,5] tutulur. Sonra c₃ = 1,375.
Her adım aralığı ikiye böler; bu yüzden n adımdan sonra genişliği (b − a)/2ⁿ olur. Yarılama yavaştır ama bir işaret değişimi bulduktan sonra her zaman işe yarar.
Kendini sına Yarılama 1 uzunluğundaki bir aralıkta başlıyor. 10 adımdan sonra aralık ne kadar geniştir?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Cevap: 1/1024. Her adım onu ikiye böler: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. 10’a ya da 20’ye bölmek ikiye bölmeyi toplamsal imiş gibi ele almaktır.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson teğet doğruyu x eksenine kadar izler ve bu kesişimi bir sonraki tahmin olarak kullanır:
Köke yakınken Newton her adımda doğru basamak sayısını kabaca ikiye katlar. f′(xₙ) 0’a yakınken ya da başlangıç kökten uzakken başarısız olabilir.
Her iterasyonda en az altı basamak tutun; erken yuvarlamak yöntemin iyileşmesini durdurur.
Kendini sına x₀ = 2’den f(x) = x² − 5 için bir Newton adımı şunu verir…
1,75
2,25
2,2
2,5
Cevap: 2,25. f(2) = −1 ve f′(2) = 4; dolayısıyla x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. −1/4’ü çıkarmak yerine eklemek 1,75 verir.
3Doğrusal enterpolasyon
Tablolar değerleri yalnızca belirli noktalarda verir. Doğrusal enterpolasyon iki komşu tablo noktası arasına bir doğru çizer:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Örnek: tablo f(1) = 2,0 ve f(2) = 2,6 verir. x = 1,4’te kesir 0,4’tür; dolayısıyla f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Ters enterpolasyon aynı şekilde tersinden çalışır: y = 2,3 olduğu yeri bulmak için kesir (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5’tir; dolayısıyla x ≈ 1,5.
4Yamuk kuralı ve Simpson kuralı
f’yi a’dan b’ye integrallemek için aralığı x₀, x₁, …, xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün.
Yamuk kuralı her şeritteki eğriyi bir doğruyla değiştirir. Her iç düğüm iki şeride ait olduğundan iki kez sayılır:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Simpson kuralı her seferinde üç düğümden bir parabol geçirir. Çift bir n gerektirir:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
n = 2 (h = 0,5) ile ∫01 x² dx = 1/3 için: T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333 ise kesindir.
Yamuk hatası h² gibi, Simpson hatası h⁴ gibi küçülür: h’yi yarıya indirmek Simpson’ı yaklaşık 16 kat daha doğru yapar.
Kendini sına Yamuk kuralı x₀, x₁, x₂, x₃ düğümlerine hangi ağırlıkları verir?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Cevap: 1, 2, 2, 1. İki uç nokta bir şeride, iç noktalar iki şeride aittir; yani h/2 çarpanıyla 1, 2, 2, 1. 4’ler Simpson kuralına aittir.
5Diferansiyel denklemler için Euler ve Heun
y(t₀) = y₀ olan y′ = f(t, y) için zamanda h adımıyla ileri gidin. Euler yöntemi her adımın başındaki eğimi kullanır:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) Euler ile tahmin eder, sonra iki uçtaki eğimlerin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Euler’in hatası h ile, Heun’unki h² ile orantılıdır. Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğim kullanır ve h⁴ doğruluğundadır.
Çözümlü örnek
y′ = y, y(0) = 1 denklemini Euler yöntemiyle h = 0,1 adımıyla t = 0,3’e kadar çözün ve tam çözüm eᵗ ile karşılaştırın.
1
1. adım
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
2. adım
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
3. adım
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Karşılaştırın
Tam değer e0,3 = 1,349859’dur; yani genel hata 0,0189’dur. y₀’dan atılan tek bir Heun adımı, e0,1 = 1,105171’e karşılık 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 verirdi.
Cevap
Euler ile y(0,3) ≈ 1,331; 0,019’luk hata kabaca h ile orantılı olarak küçülür.
6Sık yapılan hatalar ve sınav soruları
İlk yarılama orta noktasını 0. adım saymak ya da aralığın yanlış yarısını tutmak.
Newton yönteminde x − f/f′ yerine x − f′/f yazmak.
İç düğümlerdeki 2 çarpanını unutmak ya da yamuk kuralında h/2 yerine h kullanmak.
Simpson kuralını tek sayıda şeritle kullanmak.
Euler yönteminde adımın sonundaki eğimi kullanmak ya da bir adım eksik atmak.
Kolay: yarılama, Newton iterasyonları ve bir tabloda enterpolasyon. Orta: yamuk ve Simpson kuralları, hataları ve gereken şerit sayısı. Zor: diferansiyel denklemler için Euler, Heun ve Runge–Kutta adımları.
Kendini sına y′ = 2y, y(0) = 1. h = 0,2 ile tek bir Euler adımı ne verir?
1,2
1,49
1,4
2,4
Cevap: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Eğimdeki 2 çarpanını unutmak 1,2 verir; 1,49 ise tam değer e0,4’tür.
Yarılama yöntemi 4 uzunluğundaki bir aralıkla başlar. Her adım aralığı ikiye böler. Aralık 0,0001 değerinden kısa olmadan önce en az kaç adım, n, gerekir?
b − a = 4ε = 0,0001
İstenen: n
İpuçlarını göster
n adımdan sonra aralığın uzunluğu (b − a)/2ⁿ’dir.
4/2ⁿ < 0,0001 eşitsizliğini çözün; yani 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Cevabı ve adım adım çözümü göster
Kök bulma ve enterpolasyon: yarılama yöntemi f’nin işaret değiştirdiği bir [a, b] aralığını tutar; her adımda orta nokta c = (a + b)/2 alınır ve işaretin hâlâ değiştiği yarısı korunur; böylece n adımdan sonra aralığın genişliği (b − a)/2ⁿ olur. Newton–Raphson teğet doğruyu eksene kadar izler: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); basit bir kökün yakınında her adımda doğru basamak sayısını kabaca ikiye katlar. İki tablo noktası arasında doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Koşul
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logaritma
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Kontrol
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Cevap
n = 16
Örnek 2Orta
∫01,5 √(1 + x³) dx integralini n = 3 şeritli yamuk kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. T değerini verin.
Birçok denklemin ve integralin cevabı için formül yoktur: x = cos x, ∫e−x²dx ya da çoğu diferansiyel denklem. Sayısal yöntemler cevabı, ihtiyaç duyduğunuz herhangi bir doğrulukla adım adım hesaplar.
Örnek: [1, 2] üzerinde f(x) = x² − 2. c₁ = 1,5 için f = 0,25 > 0; bu yüzden [1; 1,5] tutulur. c₂ = 1,25 için f = −0,4375 < 0; bu yüzden [1,25; 1,5] tutulur. Sonra c₃ = 1,375.
Sayısal yöntemler soruları adım adım nasıl çözülür?
Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
Sayısal yöntemler konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
Yarılama aralığının yanlış yarısını tutmak ya da adımları yanlış saymak.
Newton–Raphson’da x − f/f′ yerine x − f′/f yazmak.
Yamuk kuralında iç düğümlere 1 ağırlığı vermek ya da tek sayıda şeritle Simpson kullanmak.
İterasyonları çok erken yuvarlamak.
Son zamana ulaşmak için bir Euler adımını eksik ya da fazla atmak.
Sayısal yöntemler alıştırmaları neleri kapsar?
Kolay: kökler ve enterpolasyon
Orta: yamuk ve Simpson kuralları
Zor: Euler, Heun ve Runge–Kutta
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
Çalışma nasıl işler
Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.