Normal dağılım: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: Gauss dağılımı · standart normal dağılım · z tablosu

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Normal dağılım alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: tek kuyruktaki alan, iki değer arasındaki alan, yüzdelikler.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
μ = 6567,5P = ?

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 67,5 puan değerinin üstündedir? P(X > x) değerini ondalık sayı olarak bulun.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Sonraki soru →
Normal dağılım konusunu ücretsiz çalışınNormal dağılım konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaytek kuyruktaki alan
  2. Ortaiki değer arasındaki alan
  3. Zoryüzdelikler

Normal dağılım soruları nasıl çözülür

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Sık yapılan hatalar

  • Tabloyu yanlış kuyruk için okumak.
  • σ’ya bölmeyi unutmak.
  • %50’nin altındaki yüzdeliklerde z’nin işaretini ters kullanmak.

Temel formüller

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Normal dağılım konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Betimsel istatistik

1Çan eğrisi

Boy, IQ puanı veya bir makinenin paketlerinin ağırlığı gibi birçok nicelik normal dağılımı izler. Çoğu değer ortaya yakındır ve uzaktaki değerler nadirdir.

Grafik simetrik bir çandır. İki sayısı vardır: tepenin bulunduğu ortalama μ ve genişliği belirleyen standart sapma σ.

7085100μ115130

Anahtar fikir: bir olasılık, eğrinin altındaki bir alandır. Toplam alan 1’dir. Gölgeli sol yarının alanı 0,5’tir, yani tüm değerlerin yarısı ortalamanın altındadır.

Değerlerin yaklaşık %68’i ortalamanın bir σ içinde, yaklaşık %95’i iki σ içindedir.

Kendini sına Paketlerin ağırlığı ortalaması 500 g olan normal dağılımlıdır. Paketlerin hangi kesri 500 g’dan hafiftir?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. σ’ya bağlıdır

Cevap: 0,5. Eğri ortalama etrafında simetriktir, bu yüzden σ ne olursa olsun alanın tam yarısı μ’nün altındadır. 0,68, iki yanda bir σ içindeki alandır.

2z puanları ve tablo

Bir x değerini z puanına çevirdiğinizde her normal dağılım aynı standart normal eğriye (ortalama 0, σ = 1) dönüşür:

z = (x − μ) / σ

Tablo Φ(z) değerini verir: z’nin solundaki alan. Örneğin Φ(1,2) = 0,8849, yani değerlerin %88,49’u z = 1,2’nin altındadır.

  • x’in altı: P(X < x) = Φ(z).
  • x’in üstü: P(X > x) = 1 − Φ(z), çünkü toplam alan 1’dir.
  • Negatif z için: simetri gereği Φ(−z) = 1 − Φ(z). Yani Φ(−1,2) = 0,1151.

Sık karşılaşacağınız değerler: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Kendini sına Φ(1,2) = 0,8849. P(Z > 1,2) nedir?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Cevap: 0,1151. Tablo soldaki alanı verir. Sağdaki alan 1 − 0,8849 = 0,1151’dir. 0,8849’u doğrudan kullanmak yanlış kuyruğu okur.

3İki değer arası ve yüzdelikler

İki değer arasındaki alan için iki sol alanı çıkarın: üst değerin altındaki her şey eksi alt değerin altındaki her şey.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Bir yüzdelik tersine çalışır. 90. yüzdelik, alanın %90’ının solunda kaldığı değerdir.

  • Φ(z) değeri alana eşit olan z’yi bulun. %90 için z = 1,2816. %80 için z = 0,8416.
  • x’e geri çevirin: x = μ + z · σ.

%50’nin altındaki bir yüzdelik için z negatiftir. 10. yüzdeliğin z’si −1,2816’dır.

Kendini sına IQ puanları μ = 100 ve σ = 15 ile normaldir. 80. yüzdeliğin z’si 0,8416’dır. 80. yüzdelik nedir?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Cevap: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Eksi işareti kullanmak 20. yüzdelik olan 87,4’ü verir; 100,8 σ ile çarpmayı unutur.

4Adım adım yöntem

  1. Çan eğrisini çizin, μ’yü ve değer(ler)i işaretleyin ve istenen alanı gölgeleyin.
  2. Her değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  3. Soldaki alan olan Φ(z) değerini tablodan okuyun.
  4. Altı: Φ(z). Üstü: 1 − Φ(z). Arası: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Bir yüzdelik için tersine gidin: alan → z → x = μ + zσ.
  6. Çiziminizle karşılaştırın: yarıdan küçük gölgeli bir alan 0,5’in altında bir sayı vermelidir.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

IQ puanları ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 91 ile 121 arasında kalan kesir P nedir?

1

Alanı çizin

91x₁100121x₂

Gölgeli alan ortayı ve sağ tarafın daha fazlasını kapsar. 0,5’in biraz üstünde bir sayı bekleyin.

2

Alt z puanı

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Üst z puanı

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

İki alanı da tablodan bulun

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Çıkarın

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Bu, çizimin öngördüğü gibi 0,5’in biraz üstündedir.

Cevap

P ≈ 0,645: puanların yaklaşık %64,5’i 91 ile 121 arasındadır.

6Sık yapılan hatalar

  • Yanlış kuyruğu okumak: soru x’in üstündeki alanı isterken Φ(z) kullanmak.
  • z puanında σ’ya bölmeyi unutmak.
  • Bir aralık için iki sol alanı çıkarmak yerine toplamak.
  • %50’nin altındaki bir yüzdelik için z’nin işaretini yanlış almak.
  • σ ile varyans σ²’yi karıştırmak. Standart sapma olan σ’ya bölün.
Kendini sına Sınav puanları μ = 65 ve σ = 10 ile normaldir. Φ(−1,5) = 0,0668. Puanların hangi kesri 50’nin üstündedir?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Cevap: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5 ve P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668, 50’nin altındaki alandır: yanlış kuyruk. Öğrencilerin çoğu 50’nin üstünde puan alır, bu yüzden cevap büyük olmalıdır.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: tek kuyruktaki alan. Tek bir z puanıyla P(X < x) veya P(X > x) bulun.
  • Orta: örnekteki gibi iki değer arasındaki alan, Φ(z₂) − Φ(z₁).
  • Zor: yüzdelikler. Verilerin %80’inin veya %90’ının altında kaldığı değeri bulun.

Her zaman önce çizin. On saniyelik bir çizim kuyruk hatalarının çoğunu yakalar.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
μ = 3236,8P = ?

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 36,8 min değerinin üstündedir? P(X > x) değerini ondalık sayı olarak bulun.

μ = 32σ = 6x = 36,8

İstenen: P(X > x)

İpuçlarını göster
  1. z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Sağdaki alan 1 − Φ(z)’dir.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanı

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

Bu, %21,19 eder.

Örnek 2Orta
750 g769,7 gX + Y?

X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 769,7 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

İstenen: P

İpuçlarını göster
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartlaştırın

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275
Örnek 3Zor
μ = 178x = ?20%

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 20%

İstenen: x (cm)

İpuçlarını göster
  1. Geriye doğru çalışın: tablodan Φ(z) = P/100 olan z’yi bulun.
  2. z = −0,8416.
  3. Ardından x = μ + z·σ.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Cevap

x = 172,11 cm

Sorular ve cevaplar

Normal dağılım nedir?

Boy, IQ puanı veya bir makinenin paketlerinin ağırlığı gibi birçok nicelik normal dağılımı izler. Çoğu değer ortaya yakındır ve uzaktaki değerler nadirdir.

Grafik simetrik bir çandır. İki sayısı vardır: tepenin bulunduğu ortalama μ ve genişliği belirleyen standart sapma σ.

Normal dağılım soruları adım adım nasıl çözülür?
  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Normal dağılım konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Tabloyu yanlış kuyruk için okumak.
  • σ’ya bölmeyi unutmak.
  • %50’nin altındaki yüzdeliklerde z’nin işaretini ters kullanmak.
Normal dağılım alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: tek kuyruktaki alan
  • Orta: iki değer arasındaki alan
  • Zor: yüzdelikler

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Betimsel istatistik

Sonra devam edin

Güven aralıkları

Hesaplayıcılar

Z puanı ve normal olasılık hesaplayıcıNormal dağılım hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Psikolojide Araştırma Yöntemleri ve İstatistikİstatistiğe GirişMühendislik Matematiğiİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistikFE Civil sınav hazırlığıAP Statistics alıştırma sorularıCFA Level I nicel yöntemler ve sabit getirili menkul kıymetler alıştırmaları

Matematik ve istatistik alanında diğer konular

LimitlerTürevlerOptimizasyonİntegrallerDiziler ve serilerÇok değişkenli analizDiferansiyel denklemlerKarmaşık sayılarSayısal yöntemlerMatrisler ve determinantlarVektörler: skaler ve vektörel çarpımÖnermeler mantığı ve ispatlarKümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarGraf kuramıSayılar kuramı ve modüler aritmetikOlasılıkBetimsel istatistikGüven aralıklarıHipotez testleri ve güven aralıklarıDoğrusal regresyon ve korelasyonKi-kare testleri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Normal dağılım çalışma kâğıdı
Normal dağılım konusunu ücretsiz çalışınNormal dağılım konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.