İkinci derece denklem çözücü (ax² + bx + c = 0)

Değerlerinizi girin. Cevap ve tam ayrıntılı çözüm siz yazdıkça güncellenir.

Sonuç

Köklerx₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
Diskriminant Δ49
Köklerin yapısıiki farklı gerçel kök
Tepe noktası(0,75, −6,125)
Simetri eksenix = 0,75
y-kesim noktası−5
Parabolün kollarıyukarı doğru (tepe noktasında minimum)
Çarpanlara ayrılmış biçim(2x − 5)(x + 1)

Herhangi bir ax² + bx + c = 0 ikinci derece denklemini çözün. Hesap makinesi diskriminantı hesaplar, ikinci derece denklem formülünü kullanır ve kökleri hem ondalık hem de kesin biçimde, kesirler ya da 2 ± √3 gibi sadeleştirilmiş kareköklerle, karmaşık kökler dahil, verir. Ayrıca tepe noktasını, simetri eksenini ve çarpanlara ayrılmış biçimi bulur ve kökleri Vieta formülleriyle denetler.

Adım adım çözüm

a, b ve c değerlerini belirleyin

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

Diskriminant

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → iki farklı gerçel kök

İkinci derece denklem formülü

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
kesin: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

Tepe noktası ve simetri ekseni

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
tepe noktası biçimi: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

Çarpanlara ayrılmış biçim

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

Vieta formülleriyle denetleyin

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

Temel formüller

p² < 4q olan ikinci derece denklem
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

İkinci derece denklem nasıl çözülür

  1. Denklemi ax² + bx + c = 0 standart biçiminde yazın ve a, b ile c değerlerini işaretleriyle okuyun.
  2. Δ = b² − 4ac diskriminantını hesaplayın. Δ > 0 ise iki gerçek kök, Δ = 0 ise bir katlı kök, Δ < 0 ise iki eşlenik karmaşık kök vardır.
  3. x = (−b ± √Δ)/(2a) ikinci derece denklem formülünü kullanın. Karekökü kare çarpanları dışarı alarak sadeleştirin: √12 = 2√3.
  4. Δ < 0 için √Δ = i·√|Δ| yazın; böylece kökler −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a) olur.
  5. y = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası x = −b/(2a)’dadır; y koordinatını bulmak için bunu yerine koyun.
  6. Denetleyin: köklerin toplamı −b/a, çarpımı c/a’dır.

Sorular ve cevaplar

Formül yerine ne zaman çarpanlara ayırabilirim?

Diskriminant tam kare olduğunda ve katsayılar tam sayı olduğunda kökler rasyoneldir ve ikinci derece ifade tam sayılar üzerinde çarpanlarına ayrılır; örneğin 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Aksi hâlde güvenilir yöntem ikinci derece denklem formülüdür.

Negatif diskriminant ne anlama gelir?

Parabol x eksenini kesmez; bu yüzden gerçek kök yoktur. İki kök, örneğin sönümlü titreşimlerde ve devre analizinde önem taşıyan, p ± qi eşlenik karmaşık sayılarıdır.

Tepe noktası biçimi nedir?

y = a(x − h)² + k; burada (h, k) tepe noktasıdır. Parabolün minimumunu (a > 0) ya da maksimumunu (a < 0) doğrudan gösterir ve tam kare tamamlanarak bulunur.

a = 0 ise ne olur?

O zaman denklem doğrusaldır, bx + c = 0, ve tek çözümü x = −c/b’dir. İkinci derece denklem formülü sıfıra bölerdi; bu yüzden hesap makinesi sıfırdan farklı bir a ister.

Hesap makinesi kökleri neden kesin biçimde veriyor?

Sınavlarda çoğunlukla ondalık sayılar yerine (3 ± √17)/4 gibi cevaplar istenir. a, b ve c tam sayı ya da ondalık olduğunda hesap makinesi kesin kesirlerle çalışır ve karekökü sadeleştirir.

Kendiniz deneyin

Karmaşık sayılar: adım adım çözümlü alıştırma sorularıKarmaşık sayılar soruları nasıl çözülürCevaplı Karmaşık sayılar çalışma kâğıdı

Karmaşık sayılar çalışın

Hesaplayıcı cevabı verir. Sınavda ise yönteme ihtiyacınız var: yeni sorular, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle onu çalışın.

Karmaşık sayılar konusunu ücretsiz çalışınKarmaşık sayılar konusunu şimdi çalışınÇözümlü örnekler
</> Yerleştir

Öğretmenler ve okullar için ücretsiz: bu kodu ders sayfanıza, LMS'inize veya web sitenize yapıştırın. Öğrenciler hesap makinesini ve adım adım çözümünü hesap olmadan kullanabilir.

Diğer hesaplayıcılar

Z puanı ve normal olasılık hesaplayıcıGüven aralığı hesaplayıcıÖrneklem büyüklüğü hesaplayıcıOrtalama, medyan ve standart sapma hesaplayıcıDoğrusal regresyon hesaplayıcıKi-kare uyum iyiliği hesaplayıcıMatris determinantı ve tersi hesaplayıcıNormal dağılım hesaplayıcıBinom dağılımı hesaplayıcıPoisson dağılımı hesaplayıcı