Ayrık Matematik: alıştırma soruları ve sınav soruları

Bilgisayar biliminin ve her ispatın matematiği: önermeler mantığı ve niceleyiciler, kümeler, bağıntılar ve fonksiyonlar, en kısa yollar ve en küçük kapsayan ağaçlarla graflar ve RSA’ya kadar sayılar kuramı. Sınav soruları kesin cevap ister; bu yüzden hesap makinesinden çok özenle çizilmiş bir tablo ya da şema önemlidir.

Bu derse ücretsiz çalışBu dersi çalışDeneme sınavına girHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Hızlı tekrar paketi (PDF)Formül kâğıtları, yöntem adımları ve tam çözümlü alıştırma soruları, yazdırmaya hazır.

Bu dersteki konular

  1. Önermeler mantığı ve ispatlardoğruluk tabloları · denklikler ve ispat yöntemleri · niceleyiciler ve argümanlarhesaplamalar
  2. Kümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarVenn şemaları ve alt kümeler · dahil etme–dışarıda bırakma ve bağıntılar · fonksiyonlar ve saymahesaplamalar
  3. Graf kuramıdereceler ve kenarlar · Euler yolları ve ağaçlar · en kısa yollar ve kapsayan ağaçlarhesaplamalar
  4. Sayılar kuramı ve modüler aritmetikebob ve kalanlar · tersler ve denklikler · modüler kuvvetler ve RSAhesaplamalar

Ayrık Matematik için sınav ipuçları

  • Doğruluk tablosunu ya da Venn şemasını yazın: hataların çoğu bir satırı ya da bölgeyi atlamaktan gelir.
  • Bir iddiayı çürütmek için tek bir karşı örnek yeter; kanıtlamak için ise her durumu denetleyin ya da genel bir gerekçe verin.
  • Modüler aritmetikte her adımdan sonra indirgeyin ve kalanları 0 ile n − 1 arasında tutun.

Çözümlü örnekler

Önermeler mantığı ve ispatlarKolay
pq¬(p ∨ q) → q11100100

Doğruluk tablosunun tam bir satırı ¬(p ∨ q) → q formülünü yanlış yapar. O satıra tıklayın.

¬(p ∨ q) → q
  1. 1p = 1, q = 1
  2. 2p = 1, q = 0
  3. 3p = 0, q = 1
  4. 4p = 0, q = 0
İpuçlarını göster
  1. a → b yalnızca a = 1 ve b = 0 olduğunda 0’dır. ¬a değeri tersine çevirir. a ∨ b yalnızca ikisi de 0 olduğunda 0’dır.
  2. Önce ana bağlacı çözün: tüm formülün 0 olması için iki tarafı ne olmalıdır?
  3. Her parçaya kendi sütununu verin: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q.
Cevabı ve açıklamayı göster

Doğruluk tabloları: n farklı değişkenli bir formülün 2ⁿ satırı vardır; her satır doğruluk değerlerinin bir birleşimidir (1 = doğru, 0 = yanlış). İçten dışa doğru çalışın ve her alt formüle kendi sütununu verin. ¬a değeri tersine çevirir; a ∧ b yalnızca ikisi de 1 olduğunda 1’dir; a ∨ b yalnızca ikisi de 0 olduğunda 0’dır; a → b yalnızca a = 1 ve b = 0 olduğunda 0’dır; a ↔ b iki taraf eşit olduğunda 1’dir.

Doğruluk tablosu satır satır

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, ¬(p ∨ q) → q = 0

Satır

p = 0, q = 0 → ¬(p ∨ q) → q = 0

Cevap

p = 0, q = 0
Kümeler, bağıntılar ve fonksiyonlarOrta
UMPC

53 birinci sınıf öğrencisinin 35 kişisi Matematik’i (M), 28 kişisi Fizik’i (P) ve 29 kişisi Kimya’yı (C) geçti. 20 kişi M ve P’yi, 18 kişi M ve C’yi, 10 kişi P ve C’yi geçti ve 6 kişi üçünü de geçti. Kaçı üç kümenin hiçbirinde yok?

|U| = 53

İstenen: |(M ∪ P ∪ C)′|

İpuçlarını göster
  1. Venn şemasını merkezden dışa doğru doldurun: önce üçü birden, sonra ikililer, sonra tek kümeler.
  2. Yalnız M ve P (C değil): 20 − 6 = 14. Yalnız M: 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
  3. En az bir kümede: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Kümeler ve Venn şemaları: A ∪ B, A’da ya da B’de (veya her ikisinde) olan elemanları, A ∩ B her ikisinde de olanları, A − B A’nın B’de olmayan elemanlarını ve tümleyen A′ U’da A’da olmayan her şeyi içerir. Bir Venn şemasında her küme ifadesi bölgelerin bir birleşimidir; bu yüzden onu bölge bölge sayın. Dahil etme–dışarıda bırakma: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ve |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Merkez ve ikililer

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P yalnızca: 20 − 6 = 14
M ∩ C yalnızca: 18 − 6 = 12
P ∩ C yalnızca: 10 − 6 = 4

Tek kümeler

M yalnızca: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P yalnızca: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C yalnızca: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

Cevap

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

Cevap

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3

Çalışma nasıl işler

  • “Bu dersi çalış”, gerçek bir sınavdaki gibi tüm konulardan karışık sorular getirir.
  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • Deneme sınavları süreli ve ipuçsuzdur; sonunda puanınızı ve tam bir değerlendirmeyi görürsünüz.

İlgili dersler

Bilgisayar Biliminin TemelleriVeri Yapıları ve AlgoritmalarKalkülüs 1İstatistiğe GirişMühendislik Matematiğiİstatistik 2: Çıkarımsal İstatistikDiferansiyel DenklemlerMühendislik Matematiği 2
Bu derse ücretsiz çalışBu dersi çalışDeneme sınavına girHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.