Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Yarı ömür: k = ln 2 / t_½
Newton’un soğuma yasası: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
İntegrasyon çarpanı: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı: dm/dt = r·c − (r/V)·m

İntegraller

Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Belirli integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Temel integraller: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Eğriler arasındaki alan: ∫_a^b (f − g) dx

Yöntem

Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); e^x, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.

Türevler

Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′
Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Zincir kuralı: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Temel türevler: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Yöntem

Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

2Alıştırma soruları

1.Diferansiyel denklemlerOrta

460 °C’deki dövme çelik bir parça 26 °C’deki bir atölyede soğumaya bırakılıyor. 29 dakika sonra sıcaklığı 162 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 101 °C’ye ulaşır?

T₀ = 460 °CT_a = 26 °CT(29) = 162 °CT = 101 °C

t = min

2.Diferansiyel denklemlerZor

x > 0 için y(1) = 4 koşuluyla y′ + y/x = 4x² başlangıç değer problemini çözün. y(2) değerini bulun.

y′ + y/x = 4x²y(1) = 4

y(2) =

3.İntegrallerOrta

y = 3x eğrisinin altında, x = 0’dan x = 4’e kadar olan bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin (bir koni) hacmini V bulun.

y = 3x0 ≤ x ≤ 4

V =

4.İntegrallerZor

y = 2x doğrusu ile y = x² parabolü arasındaki bölge x ekseni etrafında döndürülüyor. Cismin hacmini V bulun.

y = 2xy = x²

V =

5.TürevlerOrta

f(x) = ln(2x² + 2) olsun. f′(−2)'i bulun.

f(x) = ln(2x² + 2)x = −2

f′(−2) =

6.TürevlerZor

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 4 olsun. Yerel maksimumun x koordinatı x'i bulun.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x + 4

x =

7.Sayısal yöntemlerOrta

Bir aracın sürati her 1 s’de bir ölçülüyor (tablo). t = 0’dan t = 5 s’ye kadar aldığı yolu, s, yamuk kuralıyla tahmin edin.

h = 1 sn = 5

s = m

8.Sayısal yöntemlerZor

y₄ ≈ y(0,4) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 üzerinde h = 0,1 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1

y₄ =

3Çözeltiler

1.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 43,87 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·e^kt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e^{∫p dx} integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(434/136)/29 = 0,04001 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(434/75)/0,04001 = 43,87 min

Cevap

t = 43,87 min

2.Diferansiyel denklemler

Cevap: y(2) = 9,5

İntegrasyon çarpanı

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

İntegral alın

(x¹y)′ = 4x³ → x¹y = 4x⁴/4 + C

Başlangıç koşulu

4 = 4/4 + C → C = 3

Hesaplayın

y(2) = (4·2⁴/4 + 3)/2¹ = 9,5

Cevap

y(2) = 9,5

3.İntegraller

Cevap: V = 603,2

Dönel cisim hacimleri: y = f(x) eğrisi altındaki x = a’dan x = b’ye bölgeyi x ekseni etrafında döndürmek, x’teki kesiti f(x) yarıçaplı bir disk olan bir cisim oluşturur. Diskleri toplamak V = π∫ₐᵇ f(x)² dx verir. Bölge bir dış R(x) eğrisi ile bir iç r(x) eğrisi arasında olduğunda her dilim bir rondeladır: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Yarıçapların karesini çıkarmadan önce alın.

Disk yöntemi

V = π∫₀⁴ 9x² dx

İntegral alın

V = π·9·4³/3 = 603,2

Cevap

V = 603,2

Kontrol: yarıçapı 12, yüksekliği 4 olan bir koninin hacmi (1/3)πr²h = 603,2.

4.İntegraller

Cevap: V = 13,4

Kesişim noktaları

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Rondela (pul) yöntemi

V = π∫₀² ((2x)² − (1x²)²) dx

İntegral alın

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Cevap

V = 13,4

5.Türevler

Cevap: f′(−2) = −0,8

Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.

Logaritma için zincir kuralı

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Yerine koyun

f′(−2) = −8/10 = −0,8

Cevap

f′(−2) = −0,8

6.Türevler

Cevap: x = 1

Türev

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

f′(x) = 0'ı çözün

x = 1 veya x = 4

Hangisi hangisi

f″(x) = 6x − 15: maksimumda negatif, minimumda pozitif.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 1

Cevap

x = 1

7.Sayısal yöntemler

Cevap: s = 27 m

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

Ağırlıklı toplam

7 + 2·5 + 2·6 + 2·4 + 2·4 + 9 = 54

Yamuk kuralı

s = (1/2)·54 = 27 m

Cevap

s = 27 m

8.Sayısal yöntemler

Cevap: y₄ = 0,9444

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

Euler adımları

y₁ = 0,5 + 0,1·(1) = 0,6

y₂ = 0,6 + 0,1·(1,059964) = 0,705996

y₃ = 0,705996 + 0,1·(1,140731) = 0,820069

y₄ = 0,820069 + 0,1·(1,243547) = 0,944424

Grafik

y₄ = 0,9444

Cevap

y₄ = 0,9444

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations