Diferansiyel denklemler
- Üstel büyüme/azalma
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- Yarı ömür
- k = ln 2 / t½
- Newton’un soğuma yasası
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- İntegrasyon çarpanı
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- Karıştırma tankı
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
Diferansiyel Denklemler: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
İntegraller
- Kuvvet kuralı
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Belirli integral
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Temel integraller
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Eğriler arasındaki alan
- ∫ab (f − g) dx
Yöntem
- Mümkünse integrali alınan ifadeyi basit terimlerin toplamı olarak yeniden yazın.
- Kuvvet kuralını uygulayın: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1); ex, 1/x, sin ve cos için standart integralleri kullanın.
- Bir fonksiyonu ve türevini bir arada gördüğünüzde değişken değiştirme kullanın.
- Belirli integralde F(b) − F(a)’yı hesaplayın.
Türevler
- Kuvvet kuralı
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- Çarpım kuralı
- (uv)′ = u′v + uv′
- Bölüm kuralı
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- Zincir kuralı
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- Temel türevler
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
Yöntem
- Yapıyı belirleyin: toplam, çarpım, bölüm veya bileşke.
- x’in her kuvvetine kuvvet kuralını uygulayın.
- Gereken yerde çarpım, bölüm veya zincir kuralını kullanın.
- Sadeleştirin ve istenirse noktada değerini hesaplayın.
Sayısal yöntemler
- Yarılama yöntemi
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- Newton–Raphson
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- Doğrusal enterpolasyon
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- Yamuk kuralı
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- Simpson kuralı (n çift)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- Yamuk hata sınırı
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- Euler
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- Heun
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Yöntem
- Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
- Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
- Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
- Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.
2Alıştırma soruları
1.Diferansiyel denklemlerOrta
5 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 24 °C’deki bir odaya alınıyor. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). k = 0,08 min⁻¹ ile 13 dakika sonraki sıcaklığı T değerini bulun.
T0 = 5 °CTa = 24 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 13 min
T = °C
2.Diferansiyel denklemlerZor
y(0) = 1 koşuluyla y′ + 0,5y = 5e−2t denklemini çözün. y(1) değerini bulun.
y′ + 0,5y = 5e−2ty(0) = 1
y(1) =
3.İntegrallerOrta
I = ∫12 5/x dx'i hesaplayın.
f(x) = 5/x[1, 2]
I =
4.İntegrallerZor
y = 9 − x² parabolü ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı A'ı bulun.
y = 9 − x²
A =
5.TürevlerOrta
f(x) = x·sin(2x) olsun, x radyan cinsinden. f′(0,5)'i bulun.
f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
6.TürevlerZor
f(x) = x3 − 1,5x2 + 2 olsun. Yerel minimumun x koordinatı x'i bulun.
f(x) = x3 − 1,5x2 + 2
x =
7.Sayısal yöntemlerOrta
∫01 eˣ dx integralini n = 2 ile Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın ve tam değerle karşılaştırın. Mutlak hatayı, |E| = |S − I|, bulun.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
8.Sayısal yöntemlerZor
y3 ≈ y(1,5) değerini tahmin etmek için y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 üzerinde h = 0,5 ile Euler yöntemini kullanın.
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,5
y3 =
3Çözeltiler
1.Diferansiyel denklemler
Cevap: T = 17,28 °C
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
Soğuma yasasının çözümü
T(t) = 24 + (−19)·e−0,08t
t’yi yerine koyun
T(13) = 24 + (−19)·0,3535 = 17,28 °C
Cevap
T = 17,28 °C
2.Diferansiyel denklemler
Cevap: y(1) = 2,177
Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.
İntegrasyon çarpanı
μ = e0,5t
(e0,5ty)′ = 5e−1,5t
Genel çözüm
y = 5/(−1,5)·e−2t + C·e−0,5t = −3,333·e−2t + C·e−0,5t
Başlangıç koşulu
1 = −3,333 + C → C = 4,333
Hesaplayın
y(1) = −3,333·0,1353 + 4,333·0,6065 = 2,177
Cevap
y(1) = 2,177
3.İntegraller
Cevap: I = 3,466
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
İlkel fonksiyon
F(x) = 5·ln x
Sınırları yerine koyun
I = 5·(ln 2 − ln 1) = 5·ln 2 = 3,466
Cevap
I = 3,466
4.İntegraller
Cevap: A = 36
Belirli integraller: ∫ₐᵇ f(x) dx, a'dan b'ye grafik ile x ekseni arasındaki işaretli alandır. Bir ilkel fonksiyon F (F′ = f) bulun ve F(b) − F(a)'yı hesaplayın. Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). İki eğri arasındaki alan ∫(üst − alt) dx'tir.
Sıfırlar
9 − x² = 0 → x = ±3
İntegral alın
A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36
Cevap
A = 36
5.Türevler
Cevap: f′(0.5) = 1,382
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Çarpım ve zincir kuralı
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
Yerine koyun
f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382
Cevap
f′(0,5) = 1,382
6.Türevler
Cevap: x = 1
Türev alma: f′(x) türevi grafiğin x noktasındaki eğimidir. Kuvvet kuralı: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Çarpım kuralı: (uv)′ = u′v + uv′. Zincir kuralı: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). f′(x) = 0 olan yerde grafiğin yatay teğeti vardır: maksimum, minimum ya da eyer noktası.
Türev
f′(x) = 3x2 − 3x = 3·(x2 − x)
f′(x) = 0'ı çözün
x = 0 veya x = 1
Hangisi hangisi
f″(x) = 6x − 3: maksimumda negatif, minimumda pozitif.
f″(0) = −3, f″(1) = 3
x = 1
Cevap
x = 1
7.Sayısal yöntemler
Cevap: |E| = 0,0005793
Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.
Tam değer
I = 1,718282
Simpson kuralı
S = (0,5/3)·(1 + 4·1,648721 + 2,718282) = 1,718861
Hata
|E| = |1,718861 − 1,718282| = 0,0005793
Cevap
|E| = 0,0005793
Bağıl hata: %0,03372.
8.Sayısal yöntemler
Cevap: y3 = 2,075
y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.
Euler adımları
y₁ = 0 + 0,5·(1) = 0,5
y₂ = 0,5 + 0,5·(1,247404) = 1,123702
y₃ = 1,123702 + 0,5·(1,901707) = 2,074556
Grafik
y3 = 2,075
Cevap
y3 = 2,075
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations